今回の問題は「円とおうぎ形の計量」です。
\(~\)数研出版 これからの数学１ p.213~215 問1~3
\(~\)東京書籍 新しい数学１ p.181 問1~2
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学１ p.170~173 問1~5
問題
\({\small (1)}~\)半径 \(3~{\rm cm}\) の円について、次のものを求めよ。
① 円周の長さ \({\rm cm}\)
② 円の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (2)}~\)半径 \(4~{\rm cm}\)、中心角 \(45^\circ\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 弧の長さ \({\rm cm}\)
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (3)}~\)半径 \(6~{\rm cm}\)、中心角 \(120^\circ\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 弧の長さ \({\rm cm}\)
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (4)}~\)半径 \(8~{\rm cm}\)、弧の長さ \(4\pi~{\rm cm}\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 中心角の大きさ
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)半径 \(3~{\rm cm}\) の円について、次のものを求めよ。
① 円周の長さ \({\rm cm}\)
② 円の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (2)}~\)半径 \(4~{\rm cm}\)、中心角 \(45^\circ\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 弧の長さ \({\rm cm}\)
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (3)}~\)半径 \(6~{\rm cm}\)、中心角 \(120^\circ\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 弧の長さ \({\rm cm}\)
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
\({\small (4)}~\)半径 \(8~{\rm cm}\)、弧の長さ \(4\pi~{\rm cm}\) のおうぎ形について、次のものを求めよ。
① 中心角の大きさ
② おうぎ形の面積 \({\rm cm}^2\)
Point：円の周の長さと面積
\(\begin{split}l=2\pi r\end{split}\)
円の面積 \(S\) は、半径×半径×円周率より、
\(\begin{split}S=\pi r^2\end{split}\)
円の周の長さと面積は、
半径 \(r\) の円の周の長さ \(l\) は、直径×円周率より、
\(\begin{split}l=2\pi r\end{split}\)
円の面積 \(S\) は、半径×半径×円周率より、
\(\begin{split}S=\pi r^2\end{split}\)
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Point：おうぎ形の弧の長さと面積
\(\begin{split}l=2\pi r{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}\end{split}\)
おうぎ形の面積 \(S\) は、円の面積の \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍
\(\begin{split}S=\pi r^2{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}\end{split}\)
１つの円からできるおうぎ形(半径の等しいおうぎ形)について、弧の長さや面積はその中心角の大きさで決まる。
また、１つの円ではおうぎ形の弧の長さや面積は中心角に比例する。
弧の長さ \(l\) は、円周の長さの \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍
\(\begin{split}l=2\pi r{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}\end{split}\)
おうぎ形の面積 \(S\) は、円の面積の \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍
\(\begin{split}S=\pi r^2{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}\end{split}\)
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Point：弧の長さから中心角の求め方
同じ半径 \(6~{\rm cm}\) の円の円周の長さは、
\(\begin{split}2{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\pi=12\pi\end{split}\)
中心角を \(a\) とすると、弧の長さが \(4\pi\) は円周の長さの \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍となるので、
\(\begin{eqnarray}~12\pi{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}&=&4\pi
\\[3pt]~~~a&=&120
\end{eqnarray}\)
よって、中心角は \(120^\circ\) となる
また、おうぎ形の面積は、
\(\begin{split}6{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\pi{\, \small \times \,}\frac{\,120\,}{\,360\,}=12\pi~{\rm cm^2}\end{split}\)
半径 \(6~{\rm cm}\) のおうぎ形の弧の長さが \(4\pi~{\rm cm}\) のときの中心角と面積は、
同じ半径 \(6~{\rm cm}\) の円の円周の長さは、
\(\begin{split}2{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\pi=12\pi\end{split}\)
中心角を \(a\) とすると、弧の長さが \(4\pi\) は円周の長さの \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍となるので、
\(\begin{eqnarray}~12\pi{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}&=&4\pi
\\[3pt]~~~a&=&120
\end{eqnarray}\)
よって、中心角は \(120^\circ\) となる
また、おうぎ形の面積は、
\(\begin{split}6{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\pi{\, \small \times \,}\frac{\,120\,}{\,360\,}=12\pi~{\rm cm^2}\end{split}\)
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