【教科書レベルの基本問題一覧と解答】中３｜相似な図形

このページは「中学数学３　相似な図形」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

【問題一覧】中学数学３　相似な図形

【問題一覧】中学数学３　相似な図形

相似な図形と相似比

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の四角形 ${\rm ABCD}$ と四角形 ${\rm EFGH}$ が相似であり、相似比が $2:3$ である。

$~~{\large ①}~$相似であることを記号で表せ。
$~~{\large ②}~$辺 ${\rm EF}$ の長さを求めよ。
$~~{\large ③}~$辺 ${\rm BC}$ の長さを求めよ。
$~~{\large ④}~$$\angle {\rm F}$ の大きさを求めよ。
${\small (2)}~$次の三角形 ${\rm ABC}$ と三角形 ${\rm DEF}$ が相似である。

$~~{\large ①}~$相似であることを記号で表せ。
$~~{\large ②}~$相似比を求めよ。
$~~{\large ③}~$辺 ${\rm DE}$ の長さを求めよ。
$~~{\large ④}~$$\angle {\rm E}$ の大きさを求めよ。
${\small (3)}~$相似比が $1:1$ の２つの三角形はどのような関係か答えよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$四角形 ${\rm ABCD}$ $\,\,\unicode{x223D}\,\,$ 四角形 ${\rm EFGH}$
$~~{\large ②}~~{\rm EF}=9~{\rm cm}$
$~~{\large ③}~~{\rm BC}=8~{\rm cm}$
$~~{\large ④}~~\angle {\rm F}=60^\circ$
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEF}$
$~~{\large ②}~$相似比 $2:1$
$~~{\large ③}~~{\rm DE}={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~{\rm cm}~~~(~1.5~{\rm cm}~)$
$~~{\large ④}~~\angle {\rm E}=50^\circ$
${\small (3)}~$
　この２つの三角形は合同

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相似な図形と相似比

今回の問題は「相似な図形と相似比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.130~134 ...

相似の位置

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の図に、点 ${\rm O}$ を相似の中心として、$\triangle {\rm ABC}$ を $2$ 倍に拡大した $\triangle {\rm A’B’C’}$ をかけ。

${\small (2)}~$次の図に、点 ${\rm O}$ を相似の中心として、$\triangle {\rm ABC}$ を $3$ 倍に拡大した $\triangle {\rm A’B’C’}$ をかけ。

${\small (3)}~$次の図に、点 ${\rm O}$ を相似の中心として、四角形 $ {\rm ABCD}$ を ${\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}$ 倍に縮小した四角形 $ {\rm A’B’C’D’}$ をかけ。

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【解答】
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

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相似の位置

今回の問題は「相似の位置」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.135~136 問8 \...

三角形の相似条件

問題

次の図において、相似な三角形を見つけて、記号を使って表せ。また、そのときの相似条件を答えよ。

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【解答】
①と④
　$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm LJK}$
　３組の辺の比がそれぞれ等しい
②と⑥
　$\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm QPR}$
　２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
③と⑤
　$\triangle {\rm GHI}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OMN}$
　２組の角がそれぞれ等しい

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三角形の相似条件

今回の問題は「三角形の相似条件」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.139 問2 \(...

相似な三角形

問題

次の図において、相似な三角形を見つけて、記号を使って表せ。また、そのときの相似条件を答えよ。
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

${\small (4)}~$

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}$
　２組の角がそれぞれ等しい
${\small (2)}~$$\triangle {\rm AED}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CEB}$
　２組の角がそれぞれ等しい
${\small (3)}~$$\triangle {\rm ABE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DCE}$
　２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
${\small (4)}~$$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DBA}$
　２組の角がそれぞれ等しい
　$\triangle {\rm ABD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CAD}$
　２組の角がそれぞれ等しい
　$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DAC}$
　２組の角がそれぞれ等しい

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相似な三角形

今回の問題は「相似な三角形」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.139 問3 \(~\...

相似の証明

問題

次の証明をせよ。
${\small (1)}~$${\rm BC\,//\,DE}$ のとき、$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm ADE}$ の相似を証明せよ。

${\small (2)}~$$\angle{\rm BAD}=\angle{\rm ACB}$ のとき、$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DBA}$ の相似を証明せよ。

${\small (3)}~$${\rm AD\,//\,BC}$ を証明せよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
[証明] $\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm ADE}$ において、
${\rm A}$ が共通の角より、
　$\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DAE}~~~\cdots{\large ①}$
${\rm BC\,//\,DE}$ より同位角が等しいから、
　$\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}~~~\cdots{\large ②}$
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}$
[終]
${\small (2)}~$
[証明] $\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DBA}$ において、
仮定 $\angle{\rm BAD}=\angle{\rm ACB}$ より、
　$\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DAB}~~~\cdots{\large ①}$
${\rm B}$ が共通の角より、
　$\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DBA}~~~\cdots{\large ②}$
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DBA}$
[終]
${\small (3)}~$
[証明] $\triangle {\rm AED}$ と $\triangle {\rm CEB}$ において、
仮定より、
　${\rm AE:CE}=8:12=2:3~~~\cdots{\large ①}$
　${\rm DE:BE}=6:9=2:3~~~\cdots{\large ②}$
対頂角が等しいから、
　$\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEB}~~~\cdots{\large ③}$
①、②、③より、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
　$\triangle {\rm AED}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CEB}$
相似な図形では、対る角の大きさかわ等しいから、
　$\angle{\rm EAD}=\angle{\rm ECB}$
錯角が等しいから、
　${\rm AD\,//\,BC}$
[終]

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相似の証明

今回の問題は「相似の証明」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.140 問4~5 \(~...

三角形と線分の比

問題

次の図で ${\rm BC\,//\,DE}$ のとき、$x~,~y$ の値を求めよ。
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$$x=6~~{\rm cm}~,~y=4~~{\rm cm}$
${\small (2)}~$$x=15~~{\rm cm}~,~y=6~~{\rm cm}$
${\small (3)}~$$x=15~~{\rm cm}~,~y=16~~{\rm cm}$

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三角形と線分の比

今回の問題は「三角形と線分の比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.147~149 問...

三角形の線分の比と平行線

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ において、

　${\rm AD:DB=AE:EC}=2:1$
であるとき、次の問いに答えよ。
$~~{\large ①}~$${\rm AD:AB}$ の比を求めよ。
$~~{\large ②}~$${\rm BC}$ と ${\rm DE}$ の関係を答えよ。
$~~{\large ③}~$${\rm BC:DE}$ の比を求めよ。
${\small (2)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ において、線分 ${\rm DE~,~EF~,~FD}$ のうち、$\triangle {\rm ABC}$ の辺と平行であるものを答えよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$${\rm AD:AB}=2:3$
$~~{\large ②}~$線分 ${\rm BC}$ と ${\rm DE}$ は平行
$~~{\large ③}~$${\rm BC:DE}=3:2$
${\small (2)}~$辺 ${\rm AC}$ と線分 ${\rm FD}$ が平行である

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三角形の線分の比と平行線

今回の問題は「三角形の線分の比と平行線」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.150~1...

中点連結定理

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ において、点 ${\rm D~,~E}$ がそれぞれ辺 ${\rm AB~,~AC}$ の中点であるとき、

$~~{\large ①}~$辺 ${\rm BC}$ と線分 ${\rm DE}$ の関係を答えよ。
$~~{\large ②}~$線分 ${\rm DE}$ の長さを求めよ。
${\small (2)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ において、点 ${\rm D~,~E~,~F}$ がそれぞれ辺 ${\rm AB~,~BC~,~AC}$ の中点であるとき、

$~~{\large ①}~$$\triangle {\rm DEF}$ の周の長さを求めよ。
$~~{\large ②}~$合同な図形をすべて答えよ。
$~~{\large ③}~$相似である $\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm EFD}$ の相似条件と相似比を求めよ。
${\small (3)}~$次の四角形 ${\rm ABCD}$ において、点 ${\rm E}$ は辺 ${\rm AB}$ の中点であり、線分 ${\rm AD}$ と ${\rm EF}$ と ${\rm BC}$ は平行である。また、対角線 ${\rm AC}$ と線分 ${\rm EF}$ の交点を ${\rm G}$ とすると、

$~~{\large ①}~$${\rm AG:GC}$ の比を求めよ。
$~~{\large ②}~$${\rm CF:FD}$ の比を求めよ。
$~~{\large ③}~$線分 ${\rm EF}$ の長さを求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$${\rm DE\,//\,BC}$
$~~{\large ②}~$${\large \frac{\,15\,}{\,2\,}} ~{\rm cm}$
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~$$15~{\rm cm}$
$~~{\large ②}~$$\triangle {\rm ADF}~,~\triangle {\rm DBE}~,~\triangle {\rm FEC}~,~\triangle {\rm EFD}$ が合同
$~~{\large ③}~$相似条件は、３組の辺の比がそれぞれ等しい
　　相似比は $2:1$
${\small (3)}~$
$~~{\large ①}~$${\rm AG:GC=}1:1$
$~~{\large ②}~$${\rm CF:FD=}1:1$
$~~{\large ③}~$$9~~{\rm cm}$

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中点連結定理

今回の問題は「中点連結定理」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.152 問1~3 \(...

中点連結定理の利用

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の四角形 ${\rm ABCD}$ について、点 ${\rm E~,~F~,~G~,~H}$ がそれぞれ辺 ${\rm AB~,~BC~,~CD~,~DA}$ の中点であるとき、

$~~{\large ①}~$四角形 ${\rm EFGH}$ が平行四辺形であることを証明せよ。
$~~{\large ②}~$${\rm AC=BD}$ のとき、四角形 ${\rm EFGH}$ はどのような四角形となるか答えよ。
$~~{\large ③}~$四角形 ${\rm ABCD}$ が長方形のとき、四角形 ${\rm EFGH}$ はどのような四角形となるか答えよ。
$~~{\large ④}~$四角形 ${\rm ABCD}$ がひし形のとき、四角形 ${\rm EFGH}$ はどのような四角形となるか答えよ。
${\small (2)}~$次の四角形 ${\rm ABCD}$ について、点 ${\rm E~,~F}$ がそれぞれ辺 ${\rm AB~,~CD}$ の中点で、点 ${\rm P~,~Q}$ がそれぞれ対角線 ${\rm BD~,~AC}$ の中点であるとき、

$~~{\large ①}~$四角形 ${\rm EPFQ}$ が平行四辺形であることを証明せよ。
$~~{\large ②}~$${\rm AD=BC}$ のとき、四角形 ${\rm EPFQ}$ はどのような四角形となるか答えよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$[証明] 対角線 ${\rm AC}$ を引くと、

$\triangle {\rm ABC}$ において、点 ${\rm E~,~F}$はそれぞれ辺 ${\rm AB~,~BC}$ の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm EF\,//\,AC}~,~{\rm EF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}$$また、$\triangle {\rm DAC}$ において、点 ${\rm H~,~G}$はそれぞれ辺 ${\rm AD~,~CD}$ の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm HG\,//\,AC}~,~{\rm HG}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}$$
よって、${\rm EF\,//\,AC}$ と ${\rm HG\,//\,AC}$ より、$$~~~{\rm EF\,//\,HG}$$${\rm EF={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}$ と ${\rm HG={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}$ より、$$~~~{\rm EF=HG}$$これより、向かい合う１組の対辺が等しくて平行であるので、
四角形 ${\rm EFGG}$ は平行四辺形である
[終]
$~~{\large ②}~$四角形 ${\rm EFGH}$ はひし形
$~~{\large ③}~$四角形 ${\rm EFGH}$ はひし形
$~~{\large ④}~$四角形 ${\rm EFGH}$ は長方形
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~$[証明]$\triangle {\rm ABC}$ において、

点 ${\rm E~,~Q}$はそれぞれ辺 ${\rm AB~,~AC}$ の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm EQ\,//\,BC}~,~{\rm EQ}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$また、$\triangle {\rm DBC}$ において、

点 ${\rm P~,~F}$はそれぞれ辺 ${\rm DB~,~DC}$ の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm PF\,//\,BC}~,~{\rm PF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$
よって、${\rm EQ\,//\,BC}$ と ${\rm PF\,//\,BC}$ より、$$~~~{\rm EQ\,//\,PF}$$${\rm EQ={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}$ と ${\rm PF={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}$ より、$$~~~{\rm EQ=PF}$$これより、向かい合う１組の対辺が等しくて平行であるので、
四角形 ${\rm EPFQ}$ は平行四辺形である
[終]
$~~{\large ②}~$四角形 ${\rm EPFQ}$ はひし形

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中点連結定理の利用

今回の問題は「中点連結定理の利用」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.153 問4 \...

平行線と線分の比

問題

次の図で $l\,//\,m\,//\,n$ であるとき、$x$ の値を求めよ。
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~x=4~{\rm cm}$
${\small (2)}~x=8~{\rm cm}$
${\small (3)}~x=9~{\rm cm}$

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平行線と線分の比

今回の問題は「平行線と線分の比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.154~155 問...

角の二等分線と比

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$$\triangle {\rm ABC}$ の $\angle {\rm A}$ の二等分線と辺 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm D}$ とするとき、
　${\rm AB:AC=BD:DC}$
を証明せよ。
${\small (2)}~$線分 ${\rm AD}$ は $\angle {\rm BAC}$ の二等分線であるとき、$x$ の値を求めよ。

${\small (3)}~$線分 ${\rm AD}$ は $\angle {\rm BAC}$ の二等分線であるとき、$x$ の値を求めよ。

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【解答】
${\small (1)}~$[証明]

点 ${\rm C}$ を通り線分 ${\rm DA}$ に平行な直線と、辺 ${\rm AB}$ の延長線との交点を ${\rm E}$ とする
${\rm AD\,//\,EC}$ より、同位角が等しいので、
　$\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}$
${\rm AD\,//\,EC}$ より、錯角が等しいので、
　$\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}$
また、仮定より、
　$\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}$
よって、
　$\angle{\rm AEC}=\angle{\rm ACE}$
$\triangle {\rm ACE}$ は二等辺三角形となり、
　${\rm AC=AE}~~\cdots{\large ①}$
また、$\triangle {\rm BEC}$ において、${\rm AD\,//\,EC}$ であるので、三角形の線分の比の定理より、
　${\rm BA:AE=BD:DC}~~\cdots{\large ②}$
①、②より、
　${\rm AB:AC=BD:DC}$
[終]
${\small (2)}~x=6~{\rm cm}$
${\small (3)}~x=14~{\rm cm}$

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角の二等分線と比

今回の問題は「角の二等分線と比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.156~157 問...

相似な図形の面積比

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$半径 $6~{\rm cm}$ の円Ａと半径 $12~{\rm cm}$ の円Ｂにおいて、
$~~{\large ①}~$相似比を求めよ。
$~~{\large ②}~$面積比を求めよ。
${\small (2)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm ABC}$ が相似であるとき、

$~~{\large ①}~$相似比を求めよ。
$~~{\large ②}~$面積比を求めよ。
$~~{\large ③}~$$\triangle {\rm ABC}$ の面積が $60~{\rm cm}^2$ のとき、$\triangle {\rm DEF}$ の面積を求めよ。
${\small (3)}~$次の $\triangle {\rm ABC}$ について、
　${\rm AD:DF:FB=2:1:1}$
　${\rm BC\,//\,DE\,//\,FG}$

$~~{\large ①}~$$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm ADE}$ の面積比を求めよ。
$~~{\large ②}~$$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm AFG}$ の面積比を求めよ。
$~~{\large ③}~$台形 ${\rm DFGE}$ と台形 ${\rm FBCG}$ の面積比を求めよ。
${\small (4)}~$次の図形の面積比を求めよ。
$~~{\large ①}~$$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DBC}$。

$~~{\large ②}~$$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DEF}$。

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【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~1:2$
$~~{\large ②}~1:4$
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~2:3$
$~~{\large ②}~4:9$
$~~{\large ③}~135~{\rm cm}^2$
${\small (3)}~$
$~~{\large ①}~4:1$
$~~{\large ②}~16:9$
$~~{\large ③}~5:7$
${\small (4)}~$
$~~{\large ①}~3:5$
$~~{\large ②}~1:2$

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相似な図形の面積比

今回の問題は「相似な図形の面積比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.141~143 ...

相似な立体の表面積比と体積比

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$半径 $6~{\rm cm}$ の球Ａと半径 $10~{\rm cm}$ の球Ｂについて、
$~~{\large ①}~$相似比を求めよ。
$~~{\large ②}~$表面積比を求めよ。
$~~{\large ③}~$体積比を求めよ。
${\small (2)}~$相似な２つの立体Ｐ、Ｑについて、相似比が $7:2$ であるとき、
$~~{\large ①}~$Ｐの表面積が $147~{\rm cm}^2$ であるとき、Ｑの表面積を求めよ。
$~~{\large ②}~$Ｑの体積が $40~{\rm cm}^3$ であるとき、Ｐの体積を求めよ。
${\small (3)}~$次の図の円すいを高さで２等分するように分けたとき、上の円すいをＡ、下の立体をＢとすると、

$~~{\large ①}~$もとの円すいと円すいＡの体積比を求めよ。
$~~{\large ②}~$円すいＡと立体Ｂの体積比を求めよ。
$~~{\large ③}~$もとの円すいの体積が $96\pi~{\rm cm}^3$ のとき、立体Ｂの体積を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$$3:5$
$~~{\large ②}~$$9:25$
$~~{\large ③}~$$27:125$
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~12~{\rm cm}^2$
$~~{\large ②}~1715~{\rm cm}^3$
${\small (3)}~$
$~~{\large ①}~8:1$
$~~{\large ②}~1:7$
$~~{\large ③}~84\pi~{\rm cm}^3$

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相似な立体の表面積比と体積比

今回の問題は「相似な立体の表面積比と体積比」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.145...

相似の利用

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$あるピザの値段は、ピザの面積に比例する。
直径 $16~{\rm cm}$ のＳサイズのピザが $1200$ 円のとき、
$~~{\large ①}~$直径 $24~{\rm cm}$ のＭサイズのピザの値段を求めよ。
$~~{\large ②}~$直径 $28~{\rm cm}$ のＬサイズのピザの値段を求めよ。
${\small (2)}~$次の図のように、高さ $10~{\rm cm}$ の円すいの容器に、高さ $6~{\rm cm}$ まで水が入っている。容器と水の入った部分は相似である。

$~~{\large ①}~$容器と水の入った部分の相似比を求めよ。
$~~{\large ②}~$容器が容積 $1000~{\rm cm}^3$ のとき、入っている水の体積を求めよ。

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【解答】
${\small (1)}~$
$~~{\large ①}~$$2700$ 円
$~~{\large ②}~$$3675$ 円
${\small (2)}~$
$~~{\large ①}~$$5:3$
$~~{\large ②}~$$216~{\rm cm}^2$

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相似の利用

今回の問題は「相似の利用」です。 $~$数研出版これからの数学３ p.162 問1~2 \(~...

縮図の利用

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$図１はビルから $10~{\rm m}$ 離れた地点 ${\rm A}$ からビルの上を見上げたもので、図２は図１の ${\large \frac{\,1\,}{\,500\,}}$ の縮図である。目の高さが $1.5~{\rm m}$ であるとき、ビルの高さを求めよ。