このページは「中学数学２ 合同な図形」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】中学数学２ 合同な図形
平行線と角
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の角を記号で答えよ。
\(~~{\large ①}~\)\(\angle a\) の対頂角。
\(~~{\large ②}~\)\(\angle a\) の同位角。
\(~~{\large ③}~\)\(\angle b\) の錯角。
\(~~{\large ④}~\)\(\angle c\) の錯角。
\({\small (2)}~\)次の図において、
\(~~{\large ①}~\)\(l\,//\,m\) であることを説明せよ。
\(~~{\large ②}~\)\(\angle a~,~\angle b~,~\angle c\) の大きさを求めよ。
\({\small (3)}~\)次の図で \(l\,//\,m\) のとき、\(\angle x\) の大きさを求めよ。
\({\small (4)}~\)次の図で、
\(l\,//\,m~,~l\,//\, n\) ならば \(m\,//\,n\)
を説明せよ。
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【解答】
\({\small (1)}~\)
\(~~{\large ①}~\)\(\angle c\)
\(~~{\large ②}~\)\(\angle e\)
\(~~{\large ③}~\)\(\angle h\)
\(~~{\large ④}~\)\(\angle e\)
\({\small (2)}~\)
\(~~{\large ①}~\)直線 \(p\) に対する同位角が \(60^\circ\) で等しいので、２直線が平行 \(l\,//\,m\) となる
\(~~{\large ②}~\angle a=60^\circ~,~\angle b=70^\circ~,~\angle c=110^\circ\)
\({\small (3)}~\)\(\angle x=50^\circ\)
\({\small (4)}~\)\(l\,//\,m\) の同位角が等しいことより、$$~~~\angle a=\angle b$$\(l\,//\,n\) の同位角が等しいことより、$$~~~\angle a=\angle c$$よって、$$~~~\angle b=\angle c$$同位角が等しいので、２直線 \(m~,~n\) が平行となり、$$~~~m\,//\,n$$
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三角形の内角と外角
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の図において、\(\angle x\) の大きさを求めよ。
\(~~{\large ①}~\)
\(~~{\large ②}~\)
\(~~{\large ③}~\)
\(~~{\large ④}~\)
\(~~{\large ⑤}~\)
\({\small (2)}~\)三角形の２つの内角が次のとき、
鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形
とどれとなるか答えよ。
\(~~{\large ①}~20^\circ~,~70^\circ\)
\(~~{\large ②}~40^\circ~,~60^\circ\)
\(~~{\large ③}~20^\circ~,~30^\circ\)
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【解答】
\({\small (1)}~\)
\(~~{\large ①}~\angle x=70^\circ\)
\(~~{\large ②}~\angle x=55^\circ\)
\(~~{\large ③}~\angle x=70^\circ\)
\(~~{\large ④}~\angle x=70^\circ\)
\(~~{\large ⑤}~\angle x=90^\circ\)
\({\small (2)}~\)
\(~~{\large ①}~\)直角三角形
\(~~{\large ②}~\)鋭角三角形
\(~~{\large ③}~\)鈍角三角形
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多角形の内角と外角
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)十角形について、次の値を求めよ。
\(~~{\large ①}~\)内角の和。
\(~~{\large ②}~\)外角の和。
\({\small (2)}~\)正十二角形について、次の値を求めよ。
\(~~{\large ①}~\)内角の和。
\(~~{\large ②}~\)外角の和。
\(~~{\large ③}~\)１つの内角の大きさ。
\(~~{\large ④}~\)１つの外角の大きさ。
\({\small (3)}~\)次の条件の多角形を答えよ。
\(~~{\large ①}~\)内角の和が \(1620^\circ\)。
\(~~{\large ②}~\)１つの内角が \(135^\circ\) の正多角形。
\({\small (4)}~\)次の図において、\(\angle x\) の大きさを求めよ。
\(~~{\large ①}~\)
\(~~{\large ②}~\)
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【解答】
\({\small (1)}~\)
\(~~{\large ①}~1440^\circ\)
\(~~{\large ②}~360^\circ\)
\({\small (2)}~\)
\(~~{\large ①}~1800^\circ\)
\(~~{\large ②}~360^\circ\)
\(~~{\large ③}~150^\circ\)
\(~~{\large ④}~30^\circ\)
\({\small (3)}~\)
\(~~{\large ①}~\)十一角形
\(~~{\large ②}~\)正八角形
\({\small (4)}~\)
\(~~{\large ①}~\angle x=120^\circ\)
\(~~{\large ②}~\angle x=100^\circ\)
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合同な図形の表し方
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)三角形 \({\rm ABC}\) と三角形 \({\rm DEF}\) が合同である。
\(~~{\large ①}~\)合同であることを記号で表せ。
\(~~{\large ②}~\)等しい線分の長さを記号で表せ。
\(~~{\large ③}~\)等しい角の大きさを記号で表せ。
\({\small (2)}~\)次の２つの四角形は合同である。
\(~~{\large ①}~\)合同であることを記号で表せ。
\(~~{\large ②}~\)\(\angle {\rm A}\) の大きさを求めよ。
\(~~{\large ③}~\)\(\angle {\rm E}\) の大きさを求めよ。
\(~~{\large ④}~\)線分 \({\rm EF}\) の長さを求めよ。
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【解答】
\({\small (1)}~\)
\(~~{\large ①}~\)\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm DEF}\)
\(~~{\large ②}~\)\({\rm AB=DE~,~BC=EF~,~AC=DF}\)
\(~~{\large ③}~\)\({\rm \angle A=\angle D~,~\angle B=\angle E~,~\angle C=\angle F}\)
\({\small (2)}~\)
\(~~{\large ①}~\)四角形 \( {\rm ABCD}\equiv\) 四角形 \({\rm HGFE}\)
\(~~{\large ②}~\)\(\angle {\rm A}=140^\circ\)
\(~~{\large ③}~\)\(\angle {\rm E}=90^\circ\)
\(~~{\large ④}~\)\({\rm EF}=7~{\rm cm}\)
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三角形の合同条件
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の図において、合同な図形を見つけて記号 \(\equiv\) で表し、合同条件を答えよ。
\({\small (2)}~\)次の図において、合同な三角形を見つけて記号 \(\equiv\) で表し、合同条件を答えよ。ただし、それぞれの図形で同じ記号のついた辺や角は等しいとする。
\(~~{\large ①}~\)
\(~~{\large ②}~\)
\(~~{\large ③}~\)
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【解答】
\({\small (1)}~\)
①と⑤、\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm NMO}\)
３組の辺がそれぞれ等しい
②と③、\(\triangle {\rm DEF}\equiv \triangle {\rm IGH}\)
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
④と⑥、\(\triangle {\rm JKL}\equiv \triangle {\rm PQR}\)
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
\({\small (2)}~\)
\(~~{\large ①}~\)\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm ADC}\)
３組の辺がそれぞれ等しい
\(~~{\large ②}~\)\(\triangle {\rm AOC}\equiv \triangle {\rm BOD}\)
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
\(~~{\large ③}~\)\(\triangle {\rm AOD}\equiv \triangle {\rm BOC}\)
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
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仮定と結論
次のことがらについて、仮定と結論をそれぞれ答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm DEF}\) ならば、\({\rm AB=DF}\)
\({\small (2)}~\)\(l\,//\,m~,~m\,//\,n\) ならば、\(l\,//\,n\)
\({\small (3)}~\)\(x\) が \(10\) の倍数ならば、\(x\) は \(2\) の倍数である
\({\small (4)}~\)三角形の内角の和は \(180^\circ\) である
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【解答】
\({\small (1)}~\)仮定：\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm DEF}\)
結論：\({\rm AB=DF}\)
\({\small (2)}~\)仮定：\(l\,//\,m~,~m\,//\,n\)
結論：\(l\,//\,n\)
\({\small (3)}~\)仮定：\(x\) が \(10\) の倍数
結論：\(x\) は \(2\) の倍数
\({\small (4)}~\)仮定：三角形
結論：内角の和は \(180^\circ\)
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三角形の合同の証明
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次のことの根拠となることがらを説明せよ。
\(~~{\large ①}~\)図１で、\(\angle a=50^\circ\)
\(~~{\large ②}~\)図１で、\(\angle b=130^\circ\)
\(~~{\large ③}~\)図２で、\(\angle a=\angle b\)
\(~~{\large ④}~\)図２で、\(l\,//\,m\) ならば \(\angle a=\angle c\)
\(~~{\large ⑤}~\)図２で、\(l\,//\,m\) ならば \(\angle b=\angle c\)
\(~~{\large ⑥}~\)図２で、\(\angle a=\angle c\) ならば \(l\,//\,m\)
\(~~{\large ⑦}~\)図２で、\(\angle b=\angle c\) ならば \(l\,//\,m\)
\(~~{\large ⑧}~\)図３で、\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば \({\rm AB=A’B’}\)
\({\small (2)}~\)次の図で \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) が合同であることを証明せよ。
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【解答】
\({\small (1)}~\)
\(~~{\large ①}~\)三角形の内角の和は \(180^\circ\) である
\(~~{\large ②}~\)三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい
\(~~{\large ③}~\)対頂角が等しい
\(~~{\large ④}~\)２直線が平行ならば、同位角は等しい
\(~~{\large ⑤}~\)２直線が平行ならば、錯角は等しい
\(~~{\large ⑥}~\)同位角が等しければ、その２直線は平行である
\(~~{\large ⑦}~\)錯角が等しければ、その２直線は平行である
\(~~{\large ⑧}~\)合同な図形では、対応する線分や角は等しい
\({\small (2)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
\({\rm AC=AC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\)
[終]
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図形の性質と証明
次の証明をせよ。
\({\small (1)}~\)次の図において、
\({\rm AO=BO~,~CO=DO}\) ならば \({\rm AC\,//\,DB}\)
\({\small (2)}~\)次の図において、
\({\rm AO=BO~,~AD\,//\,CB}\) ならば \({\rm AD=CB}\)
\({\small (3)}~\)角の二等分線の作図において、
半直線 \({\rm OR}\) が \(\angle {\rm AOB}\) を二等分する
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【解答】
\({\small (1)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm ACO}\) と \(\triangle {\rm BDO}\) において、
仮定より、
\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm CO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
\(\angle{\rm AOC}=\angle{\rm BOD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ACO}\equiv\triangle {\rm BDO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\(\angle{\rm ACO}=\angle{\rm BDO}\)
錯角が等しいから、
\({\rm AC\,//\,DB}\)
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm BOD}\) において、
仮定より、
\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AD\,//\,CB}\) より錯角が等しいから、
\(\angle{\rm DAO}=\angle{\rm CBO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm BOC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm AOD}\equiv\triangle {\rm BOD}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
\({\rm AD=CB}\)
[終]
\({\small (3)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm POR}\) と \(\triangle {\rm QOR}\) において、
仮定より、点 \({\rm O}\) を中心とした円と半直線 \({\rm OA~,~OB}\) の交点が \({\rm P~,~Q}\) より、
\({\rm OP=OQ}~~~\cdots{\large ①}\)
点 \({\rm P~,~Q}\) を中心とした同じ半径の円の交点が \({\rm R}\) より、
\({\rm PR=QR}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
\({\rm OR=OR}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm POR}\equiv\triangle {\rm QOR}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\(\angle{\rm POR}=\angle{\rm QOR}\)
これより、
\(\angle{\rm AOR}=\angle{\rm BOR}\)
したがって、半直線 \({\rm OR}\) が \(\angle {\rm AOB}\) を二等分する
[終]
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