今回の問題は「円と三平方の定理」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.205 問7~8
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.198 問9~10
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.193 問6~7
問題
\({\small (1)}~\)半径 \(6~{\rm cm}\) の円 \({\rm O}\) において、中心 \({\rm O}\) からの距離が \(3~{\rm cm}\) である弦 \({\rm AB}\) の長さを求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)半径 \(6~{\rm cm}\) の円 \({\rm O}\) において、中心 \({\rm O}\) からの距離が \(3~{\rm cm}\) である弦 \({\rm AB}\) の長さを求めよ。
\({\small (2)}~\)次の図で、直線 \({\rm AP}\) は円 \({\rm O}\) の接線で、点 \({\rm P}\) は接点である。円 \({\rm O}\) の半径が \(6~{\rm cm}\)、\({\rm AO}=12~{\rm cm}\) のとき、接線 \({\rm AP}\) の長さを求めよ。
Point：円の弦の長さと三平方の定理
① 円の中心 \({\rm O}\) から弦 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm OH}\) を引くと、\(\triangle {\rm OAB}\) が二等辺三角形であるので、弦 \({\rm AB}\) を二等分する。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+h^2&=&r^2\\[2pt]~~~x&=&\sqrt{r^2-h^2}\end{eqnarray}\)
③ \({\rm AB}=2x\) より、弦の長さを求める。
円の弦の長さの求め方は、
① 円の中心 \({\rm O}\) から弦 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm OH}\) を引くと、\(\triangle {\rm OAB}\) が二等辺三角形であるので、弦 \({\rm AB}\) を二等分する。
② \(\triangle {\rm OAH}\) は直角三角形となり三平方の定理より、\(x\) の長さを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+h^2&=&r^2\\[2pt]~~~x&=&\sqrt{r^2-h^2}\end{eqnarray}\)
③ \({\rm AB}=2x\) より、弦の長さを求める。
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Point：円の接線の長さと三平方の定理
① 円の接線と半径は垂直に交わるので、\(\triangle {\rm APO}\) は \(\angle{\rm APO}=90^\circ\) の直角三角形となる。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+r^2&=&a^2\\[2pt]~~~x&=&\sqrt{a^2-r^2}\end{eqnarray}\)
円の接線の長さの求め方は、
① 円の接線と半径は垂直に交わるので、\(\triangle {\rm APO}\) は \(\angle{\rm APO}=90^\circ\) の直角三角形となる。
② 三平方の定理より、接線の長さ \({\rm AP}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+r^2&=&a^2\\[2pt]~~~x&=&\sqrt{a^2-r^2}\end{eqnarray}\)
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