立体の展開図の解法
立体を平面で表すとき、「展開図」で表す。
このとき、展開図で重なり合う線分の長さは等しい。
■ 角柱の展開図
(側面の長方形の横の長さ)＝(底面の周りの長さ)
■ 角錐の展開図
©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com
■ 円柱 ※ 側面が長方形で底面が円となる。
(側面の長方形の横の長さ)＝(底面の円周の長さ)
■ 円錐 ※ 側面がひし形で底面が円となる。
ひし形の弧の長さは、底面の円周の長さ \(\begin{split}4\pi~{\rm cm}\end{split}\)
このおうぎ形の半径は母線の \(6~{\rm cm}\) であり、
同じ半径 \(6~{\rm cm}\) の円の円周の長さは、\(\begin{split}12\pi~{\rm cm}\end{split}\)
中心角を \(a\) とすると、弧の長さが \(4\pi\) は円周の長さの \(\begin{split}{ \frac{\,a\,}{\,360\,}}\end{split}\) 倍となるので、
\(\begin{eqnarray}~12\pi{\, \small \times \,}\frac{\,a\,}{\,360\,}&=&4\pi\end{eqnarray}\)
よって、中心角は \(120^\circ\) となる
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問題解説：立体の展開図
問題解説(1)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の立体の展開図をかけ。
① 底面が三角形で、側面が長方形であり、$$\begin{split}~~~&{\rm AB=DE}=4~{\rm cm}\\[2pt]~~~&{\rm BC=EF}=3~{\rm cm}\\[2pt]~~~&{\rm AC=DF}=5~{\rm cm}\\[2pt]~~~&{\rm AD=BE=CF}=6~{\rm cm}\end{split}$$であるので、
② すべての面が正方形であり、すべての辺の長さが \(2~{\rm cm}\) であるので、
③ 底面が正方形で、側面が二等辺三角形であり、$$\begin{split}~~~&{\rm BC=CD=DE=BE}=10~{\rm cm}\\[2pt]~~~&{\rm AB=AC=AD=AE}=12~{\rm cm}\end{split}$$であるので、
また、
④ 底面が円で、側面が長方形であり、
長方形の横の長さは、底面の円の円周の長さとなるので、$$~~~4{\, \small \times \,} \pi=4\pi~{\rm cm}$$となるので、
問題解説(2)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の円錐について、
① この円錐の展開図で、側面となるおうぎ形の弧の長さと中心角を求めよ。
② この円錐の展開図をかけ。
① 円錐について、
側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円 \({\rm O’}\) の円周の長さとなるので、$$~~~4{\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} \pi =8\pi ~{\rm cm}$$また、円 \({\rm O}\) の円周の長さは、$$~~~12{\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} \pi =24\pi ~{\rm cm}$$これより、中心角 \(x^\circ\) は、$$\begin{eqnarray}~~~x&=&360^\circ {\, \small \times \,} \frac{\,8\pi\,}{\,24\pi\,}\\[3pt]~~~&=&360^\circ {\, \small \times \,} \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&120^\circ\end{eqnarray}$$したがって、
弧の長さ \(8\pi~{\rm cm}\)、中心角 \(120^\circ\)
となる
② 側面が半径 \(12~{\rm cm}\)、弧の長さ \(8\pi~{\rm cm}\)、中心角 \(120^\circ\) のおうぎ形で、底面が半径 \(4~{\rm cm}\) の円より、
