立体の体積の解法
Point：角柱・円柱の体積
(底面積) × (高さ)
で求めることができる。
\(\begin{split}V=Sh\end{split}\)
■ 角柱・円柱の体積
角柱や円柱の体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
(底面積) × (高さ)
で求めることができる。
\(\begin{split}V=Sh\end{split}\)
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Point：角錐・円錐の体積
(底面積) × (高さ) ÷ 3
\(\begin{split}V=\frac{\,1\,}{\,3\,}Sh\end{split}\)
■ 角錐・円錐の体積
角錐や円錐の体積は、底面が合同で高さの等しい角柱や円柱の体積の \({\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\) となる。
(底面積) × (高さ) ÷ 3
\(\begin{split}V=\frac{\,1\,}{\,3\,}Sh\end{split}\)
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問題解説：立体の体積
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の立体の体積を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の立体の体積を求めよ。
① 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、底辺と高さが \(4~{\rm cm}~,~3~{\rm cm}\) の直角三角形であるので、
\(\begin{split}~~~S=4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}=6~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、高さ \(6~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=6{\, \small \times \,}6=36~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(36~{\rm cm}^3\) となる
② 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、半径 \(3~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~S=3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,} \pi=9\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、高さ \(5~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=9\pi {\, \small \times \,}5=45\pi~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(45\pi~{\rm cm}^3\) となる
③ 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、上底 \(2~{\rm cm}\)、下底 \(3~{\rm cm}\)、高さ \(2~{\rm cm}\) の台形であるので、
\(\begin{split}~~~S=(2+3){\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}=5~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、高さ \(10~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=5{\, \small \times \,}10=50~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(50~{\rm cm}^3\) となる
④ 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、
底辺 \(8~{\rm cm}\)、高さ \(3~{\rm cm}\) の三角形と、
底辺 \(8~{\rm cm}\)、高さ \(4~{\rm cm}\) の三角形を
あわせた四角形であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&8{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}+8{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~&=&12+16=28~{\rm cm}^2\end{eqnarray}\)
また、高さ \(7~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=28{\, \small \times \,}7=196~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(196~{\rm cm}^3\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の立体の体積を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の立体の体積を求めよ。
① 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、１辺が \(4~{\rm cm}\) の正方形であるので、
\(\begin{split}~~~S=4{\, \small \times \,}4=16~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、高さ \(9~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=16{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=16{\, \small \times \,}3=48~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(48~{\rm cm}^3\) となる
② 底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、半径 \(2~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~S=2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,} \pi=4\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、高さ \(8~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=4\pi {\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=\frac{\,32\pi\,}{\,3\,}~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(\begin{split}{ \frac{\,32\pi\,}{\,3\,}}~{\rm cm}^3\end{split}\) となる
③ \(\triangle {\rm ABC}\) を底面とすると、
底面積 \(S~{\rm cm}^2\) は、底辺と高さが \(6~{\rm cm}\) の正方形であるので、
\(\begin{split}~~~S=6{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}=18~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、\(\triangle {\rm ABC}\) を底面とすると、高さが \({\rm BF}=6~{\rm cm}\) であるので、体積 \(V~{\rm cm}^3\) は、
\(\begin{split}~~~V=18{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=18{\, \small \times \,}2=36~{\rm cm}^3\end{split}\)
したがって、体積 \(36~{\rm cm}^3\) となる
【問題一覧】中１｜空間図形
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