立体の表面積の解法
Point：角柱と角錐の表面積
(側面積) ＋ (底面積)\({\, \small \times \,}~2\)
※ 側面積の横の長さは、底面の周の長さとなる。
角錐の表面積は展開図より、
(側面積) ＋ (底面積)
立体のすべての面の面積の和を「表面積」といい、側面全体の面積を「側面積」、１つの底面の面積を「底面積」という。
角柱の表面積は展開図より、
(側面積) ＋ (底面積)\({\, \small \times \,}~2\)
※ 側面積の横の長さは、底面の周の長さとなる。
角錐の表面積は展開図より、
(側面積) ＋ (底面積)
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Point：円柱と円錐の表面積
底面積は、\(\begin{split}(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi){\, \small \times \,}2=8\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
よって、表面積は \(\begin{split}32\pi+8\pi=40\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
■ 円錐の表面積
おうぎ形の面積(側面積)は、
(母線の長さ) × (おうぎ形の弧の長さ) ÷ 2
\(\begin{split}6{\, \small \times \,}4\pi{\, \small \div \,}2=12\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、底面積は、\(\begin{split}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
よって、表面積は \(\begin{split}12\pi+4\pi=16\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
■ 円柱の表面積
(長方形の横の長さ)＝(円周の長さ)より、
側面積は、\(\begin{split}8{\, \small \times \,}4\pi=32\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
底面積は、\(\begin{split}(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi){\, \small \times \,}2=8\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
よって、表面積は \(\begin{split}32\pi+8\pi=40\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
■ 円錐の表面積
(おうぎ形の弧の長さ)＝(円周の長さ)となり、
おうぎ形の面積(側面積)は、
(母線の長さ) × (おうぎ形の弧の長さ) ÷ 2
\(\begin{split}6{\, \small \times \,}4\pi{\, \small \div \,}2=12\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
また、底面積は、\(\begin{split}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
よって、表面積は \(\begin{split}12\pi+4\pi=16\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
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問題解説：立体の表面積
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の立体の表面積を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の立体の表面積を求めよ。
① この立体の展開図は、
側面は、縦の長さ \(6~{\rm cm}\)、横の長さ \(4+5+3~{\rm cm}\) の長方形より、
\(\begin{split}~~~6{\, \small \times \,}(4+5+3)=6{\, \small \times \,} 12=72~{\rm cm}^2\end{split}\)
底面の１つは、\(4~{\rm cm}~,~3~{\rm cm}\) の直角三角形であるので、
\(\begin{split}~~~4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}=6~{\rm cm}^2\end{split}\)
表面積は、(側面積)＋(底面積)\({\, \small \times \,}2\) であるので、
\(\begin{split}~~~72+6{\, \small \times \,} 2=72+12=84~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(84~{\rm cm}^2\) となる
② この立体の展開図は、
側面は、縦の長さ \(3~{\rm cm}\)、横の長さ \(3+3+3+3~{\rm cm}\) の長方形より、
\(\begin{split}~~~3{\, \small \times \,}(3+3+3+3)=3{\, \small \times \,} 12=36~{\rm cm}^2\end{split}\)
底面の１つは、１辺 \(3~{\rm cm}\) の正方形であるので、
\(\begin{split}~~~3{\, \small \times \,}3=9~{\rm cm}^2\end{split}\)
表面積は、(側面積)＋(底面積)\({\, \small \times \,}2\) であるので、
\(\begin{split}~~~36+9{\, \small \times \,} 2=36+18=54~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(54~{\rm cm}^2\) となる
③ この立体の展開図は、
側面の長方形の横の長さは、底面の円の円周の長さと等しくなるので、
\(\begin{split}~~~3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,} \pi=6\pi~{\rm cm}\end{split}\)
また、縦の長さ \(5~{\rm cm}\) より、
\(\begin{split}~~~5{\, \small \times \,}6\pi=30\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
底面の１つは、半径 \(3~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,} \pi=9\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
表面積は、(側面積)＋(底面積)\({\, \small \times \,}2\) であるので、
\(\begin{split}~~~30\pi+9\pi {\, \small \times \,} 2=30\pi+18\pi=48\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(48\pi~{\rm cm}^2\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の立体の表面積を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の立体の表面積を求めよ。
① この立体の展開図は、
側面の１つは、底辺 \(4~{\rm cm}\)、高さ \(7~{\rm cm}\) の三角形であるので、
\(\begin{split}~~~4{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,2\,}=14~{\rm cm}^2\end{split}\)
底面は、１辺 \(4~{\rm cm}\) の正方形であるので、
\(\begin{split}~~~4{\, \small \times \,}4=16~{\rm cm}^2\end{split}\)
展開図より、側面全体は三角形４つ分で底面は１つであるので、
表面積は、
\(\begin{split}~~~14{\, \small \times \,}4+16=56+16=72~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(72~{\rm cm}^2\) となる
② この立体の展開図は、
(おうぎ形の弧の長さ)＝(底面の円の円周の長さ)より、半径 \(2~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}\end{split}\)
おうぎ形の面積は、(母線の長さ) × (おうぎ形の弧の長さ) ÷ 2 より、
\(\begin{split}~~~6{\, \small \times \,}4\pi{\, \small \div \,}2=12\pi~{\rm cm}\end{split}\)
これより、側面積が \(12\pi~{\rm cm}^2\) となる
また、底面の円 \({\rm O’}\) は半径 \(2~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
展開図より、
(表面積)＝(側面積)＋(底面積) となるので、
\(\begin{split}~~~12\pi+4\pi=16\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(16\pi~{\rm cm}^2\) となる
【別解】
※ 中心角を求めて、おうぎ形の面積を求める方法。
(おうぎ形の弧の長さ)＝(底面の円の円周の長さ)より、半径 \(2~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}\end{split}\)
また、円 \({\rm O}\) の円周の長さは、
\(\begin{split}~~~6{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=12\pi~{\rm cm}\end{split}\)
よって、おうぎ形の中心角 \(x^\circ\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&360{\, \small \times \,}\frac{\,4\pi\,}{\,12\pi\,}\\[3pt]~~~&=&360{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=120\end{eqnarray}\)
よって、中心角 \(120^\circ\) となる
また、おうぎ形の面積は円 \({\rm O}\) の面積 \(\begin{split}{\, \small \times \,}{\frac{\,120\,}{\,360\,}}\end{split}\) となるので、
\(\begin{split}~~~6{\, \small \times \,}6{\, \small \times \,} \pi{\, \small \times \,}\frac{\,120\,}{\,360\,}=36\pi{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=12\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
これより、側面積が \(12\pi~{\rm cm}^2\) となる
また、底面の円 \({\rm O’}\) は半径 \(2~{\rm cm}\) の円であるので、
\(\begin{split}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\pi=4\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
展開図より、
(表面積)＝(側面積)＋(底面積) となるので、
\(\begin{split}~~~12\pi+4\pi=16\pi~{\rm cm}^2\end{split}\)
したがって、表面積 \(16\pi~{\rm cm}^2\) となる
【問題一覧】中１｜空間図形
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