片方を何倍かする加減法の解法
Point：片方を何倍かする加減法
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=7~&\cdots {\small (a)}\\
3x-5y=-1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 片方の方程式を何倍かして、\(x\) (または \(y\)) の係数をもう片方の方程式とそろえる。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\) として、\(x\) の係数をそろえると、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+6y=21 \\
3x-5y=-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 両辺を足し算または引き算する。
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+6y&=&21 \\
-\big{)}~~ 3x-5y &=&-1\\
\hline 0+11y&=&22\\[2pt]y&=&2\end{eqnarray}\)
③ 求めた \(x\) の値( \(y\) の値)を \({\small (a)}\) または \({\small (b)}\) の方程式に代入して、もう一方の値を求める。
\(y=2\) を \({\small (a)}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2{\, \small \times \,}2&=&7\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって答えは、\(x=3~,~y=2\)
そのまま加減法をしても文字が消えないときは、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=7~&\cdots {\small (a)}\\
3x-5y=-1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 片方の方程式を何倍かして、\(x\) (または \(y\)) の係数をもう片方の方程式とそろえる。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\) として、\(x\) の係数をそろえると、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+6y=21 \\
3x-5y=-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 両辺を足し算または引き算する。
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+6y&=&21 \\
-\big{)}~~ 3x-5y &=&-1\\
\hline 0+11y&=&22\\[2pt]y&=&2\end{eqnarray}\)
③ 求めた \(x\) の値( \(y\) の値)を \({\small (a)}\) または \({\small (b)}\) の方程式に代入して、もう一方の値を求める。
\(y=2\) を \({\small (a)}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2{\, \small \times \,}2&=&7\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって答えは、\(x=3~,~y=2\)
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問題解説：片方を何倍かする加減法
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=2 \\
5x+2y=-3 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=2 \\
5x+2y=-3 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=2 ~&\cdots{\small (a)}\\
5x+2y=-3 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (a)}\) の両辺を \({\, \small \times \,}5\) して、\(x\) の係数をそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,} 5+3y{\, \small \times \,}5&=&2{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~5x+15y&=&10\end{eqnarray}\)
これから \({\small (b)}\) を引き算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
5x+15y&=&10 \\
-\big{)}~~ 5x+2y&=&-3\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(5x-5x=0\)
\(15y-2y=13y\)
\(10-(-3)=13\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
5x+15y&=&10 \\
-\big{)}~~ 5x+2y&=&-3\\
\hline 0+13y&=&13\\[2pt]13y&=&13\end{eqnarray}\)
両辺を \(13\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{31pt}~~~\frac{\,13y\,}{\,13\,}&=&\frac{\,13\,}{\,13\,}\\[2pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x+3y=2\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3{\, \small \times \,}1&=&2\\[2pt]~~~x+3&=&2\end{eqnarray}\)
\(3\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{33pt}~~~x&=&2-3\\[2pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-1~,~y=1\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
7x+4y=-6 \\
3x-y=11\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
7x+4y=-6 \\
3x-y=11\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
7x+4y=-6 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x-y=11 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (b)}\) の両辺を \({\, \small \times \,}4\) して、\(y\) の係数をそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~3x{\, \small \times \,} 4-y{\, \small \times \,}4&=&11{\, \small \times \,}4\\[2pt]~~~12x-4y&=&44\end{eqnarray}\)
\({\small (a)}\) にこの式を足し算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
7x+4y&=&-6 \\
+\big{)}~~ 12x-4y&=&44\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(7x+12x=19x\)
\(4y+(-4y)=0\)
\(-6+44=38\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
7x+4y&=&-6 \\
+\big{)}~~ 12x-4y&=&44\\
\hline 19x+0&=&38\\[2pt]19x&=&38\end{eqnarray}\)
両辺を \(19\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{36pt}~~~\frac{\,19x\,}{\,19\,}&=&\frac{\,38\,}{\,19\,}\\[2pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
これを \({\small (b)}\) \(3x-y=11\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~3{\, \small \times \,}2-y&=&11\\[2pt]~~~6-y&=&11\end{eqnarray}\)
\(6\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{29pt}~~~-y&=&11-6\\[2pt]~~~-y&=&5\end{eqnarray}\)
両辺を \({\, \small \times \,}(-1)\) して符号を逆にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~-y{\, \small \times \,}(-1)&=&5{\, \small \times \,}(-1)\\[2pt]~~~y&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=2~,~y=-5\) となる
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-3y=23 \\
6x+11y=9 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-3y=23 \\
6x+11y=9 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-3y=23 ~&\cdots{\small (a)}\\
6x+11y=9 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (a)}\) の両辺を \({\, \small \times \,}3\) して、\(x\) の係数をそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x{\, \small \times \,}3-3y{\, \small \times \,}3&=&23{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~6x-9y&=&69\end{eqnarray}\)
これから \({\small (b)}\) を引き算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
6x-9y&=&69 \\
-\big{)}~~ 6x+11y&=&9\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(6x-6x=0\)
\(9y-11y=-20y\)
\(69-9=60\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
6x-9y&=&69 \\
-\big{)}~~ 6x+11y&=&9\\
\hline 0-20y&=&60\\[2pt]-20y&=&60\end{eqnarray}\)
両辺を \(-20\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~\frac{\,-20y\,}{\,-20\,}&=&\frac{\,60\,}{\,-20\,}\\[2pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(2x-3y=23\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-3{\, \small \times \,}(-3)&=&23\\[2pt]~~~2x+9&=&23\end{eqnarray}\)
\(9\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{50pt}~~~2x&=&23-9\\[2pt]~~~2x&=&14\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{44pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,14\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~x&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=7~,~y=-3\) となる
【問題一覧】中２｜連立方程式
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