今回の問題は「２点を通る直線の式」です。
\(~\)数研出版 これからの数学２ p.86 問3
\(~\)東京書籍 新しい数学２ p.73 問4
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学２ p.75 問3~4
問題
\({\small (1)}~\)２点 \((1~,~2)~,~(2~,~5)\) を通る。
\({\small (2)}~\)\(x=2\) のとき \(y=2\)、\(x=-4\) のとき \(y=5\) となる。
次の直線の式を求めよ。
\({\small (1)}~\)２点 \((1~,~2)~,~(2~,~5)\) を通る。
\({\small (2)}~\)\(x=2\) のとき \(y=2\)、\(x=-4\) のとき \(y=5\) となる。
Point：２点を通る直線の式(傾き)
① ２点の座標から \(x\) の増加量と \(y\) の増加量を読みとり、傾きを求める。
傾きは、\(\begin{split}a=\frac{\,4-1\,}{\,5-2\,}=\frac{\,3\,}{\,3\,}=1\end{split}\)
② 求めた傾き \(a\) と一方の点の座標を代入することで、切片 \(b\) を求める。
\(a=1\) より、\(y=x+b\) となり、
\(x=2~,~y=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&2+b\\[2pt]~~~b&=&-1\end{eqnarray}\)
※ \(x=5~,~y=4\) を代入してもよい。
③ 傾き \(a\)、切片 \(b\) より、直線の式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y=x-1\end{eqnarray}\)
２点 \((2~,~1)~,~(5~,~4)\) を通る直線の式は、
① ２点の座標から \(x\) の増加量と \(y\) の増加量を読みとり、傾きを求める。
\(x\) の増加量は \(5-2\)、\(y\) の増加量は \(4-1\)
傾きは、\(\begin{split}a=\frac{\,4-1\,}{\,5-2\,}=\frac{\,3\,}{\,3\,}=1\end{split}\)
② 求めた傾き \(a\) と一方の点の座標を代入することで、切片 \(b\) を求める。
\(a=1\) より、\(y=x+b\) となり、
\(x=2~,~y=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&2+b\\[2pt]~~~b&=&-1\end{eqnarray}\)
※ \(x=5~,~y=4\) を代入してもよい。
③ 傾き \(a\)、切片 \(b\) より、直線の式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y=x-1\end{eqnarray}\)
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Point：２点を通る直線の式(連立方程式)
① 直線の式を \(y=ax+b\) として、２点をそれぞれ代入した式をつくる。
\(y=ax+b\) より、
\(x=2~,~y=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1=2a+b\end{eqnarray}\)
\(x=5~,~y=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4=5a+b\end{eqnarray}\)
② \(a~,~b\) の２つの方程式を連立方程式として、解 \(a~,~b\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}2a+b=1 \\5a+b=4 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、解は \(a=1~,~b=-1\)
③ 傾き \(a\)、切片 \(b\) より、直線の式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y=x-1\end{eqnarray}\)
２点 \((2~,~1)~,~(5~,~4)\) を通る直線の式は、
① 直線の式を \(y=ax+b\) として、２点をそれぞれ代入した式をつくる。
\(y=ax+b\) より、
\(x=2~,~y=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1=2a+b\end{eqnarray}\)
\(x=5~,~y=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4=5a+b\end{eqnarray}\)
② \(a~,~b\) の２つの方程式を連立方程式として、解 \(a~,~b\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}2a+b=1 \\5a+b=4 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、解は \(a=1~,~b=-1\)
③ 傾き \(a\)、切片 \(b\) より、直線の式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y=x-1\end{eqnarray}\)
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