多角形の内角と外角

Point：多角形の内角と外角

多角形は１つの頂点からひいた対角線によって、いくつかの三角形に分けられる。

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よって、\(n\) 角形では \(n-2\) 個の三角形に分けられるので、\(n\) 角形の内角の和は、

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また、多角形の外角の和はどんな多角形でも同じとなるので、

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)十角形について、次の値を求めよ。
　①　内角の和。
　②　外角の和。

①　十角形は１つの頂点からひいた対角線によって、８つの三角形に分けられる
よって、内角の和は、

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\(\begin{split}&180^\circ{\, \small \times \,}(10-2)\\[2pt]~~=~&180^\circ{\, \small \times \,}8\\[2pt]~~=~&1440^\circ\end{split}\)

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したがって、答えは \(1440^\circ\) となる

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②　多角形の外角の和はどんな多角形でも同じであるので、
答えは \(360^\circ\) となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)正十二角形について、次の値を求めよ。
　①　内角の和。
　②　外角の和。
　③　１つの内角の大きさ。
　④　１つの外角の大きさ。

①　正十二角形は１つの頂点からひいた対角線によって、10個の三角形に分けられる
よって、内角の和は、

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\(\begin{split}&180^\circ{\, \small \times \,}(12-2)\\[2pt]~~=~&180^\circ{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~=~&1800^\circ\end{split}\)

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したがって、答えは \(1800^\circ\) となる

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②　多角形の外角の和はどんな多角形でも同じであるので、
答えは \(360^\circ\) となる

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③　正十二角形の内角はすべて等しく、12個の頂点がある
内角の和が \(1800^\circ\) であるので、１つの内角の大きさは、

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\(~~~1800^\circ{\, \small \div \,}12=150^\circ\)

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答えは \(150^\circ\) となる

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④　正十二角形の外角はすべて等しく、12個の頂点がある
外角の和が \(360^\circ\) であるので、１つの外角の大きさは、

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\(~~~360^\circ{\, \small \div \,}12=30^\circ\)

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答えは \(30^\circ\) となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (3)}~\)次の条件の多角形を答えよ。
　①　内角の和が \(1620^\circ\)。
　②　１つの内角が \(135^\circ\) の正多角形。

①　この多角形を \(n\) 角形とすると、内角の和が \(1620^\circ\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~180^\circ{\, \small \times \,}(n-2)&=&1620^\circ\\[3pt]~~~\frac{\,180^\circ{\, \small \times \,}(n-2)\,}{\,180^\circ\,}&=&\frac{\,1620^\circ\,}{\,180^\circ\,}\\[3pt]~~~n-2&=&9\\[2pt]~~~n&=&9+2\\[2pt]~~~n&=&11\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは 十一角形 となる

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②　この多角形を正 \(n\) 角形とする
１つの内角の大きさが \(135^\circ\) ですべて等しいので、\(n\) 個の内角の和は、

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\(~~~135^\circ {\, \small \times \,} n=135^\circ n\)

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また、\(n\) 角形の内角の和の公式 \(180^\circ {\, \small \times \,}(n-2)\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~180^\circ {\, \small \times \,}(n-2)&=&135^\circ n\\[2pt]~~~180^\circ {\, \small \times \,} n+180^\circ{\, \small \times \,}(-2)&=&135^\circ n\\[2pt]~~~180^\circ n-360^\circ&=&135^\circ n\\[2pt]~~~180^\circ n-135^\circ n&=&360^\circ\\[2pt]~~~45^\circ n&=&360^\circ\\[3pt]~~~\frac{\,45^\circ n\,}{\,45^\circ\,}&=&\frac{\,360^\circ\,}{\,45^\circ\,}\\[3pt]~~~n&=&8\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは 正八角形 となる

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【別解】
この多角形を正 \(n\) 角形とする
内角が \(135^\circ\) より、この多角形の外角は、

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\(~~~180^\circ-135^\circ=45^\circ\)

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外角の和は \(360^\circ\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~360^\circ {\, \small \div \,}n&=&45^\circ\\[3pt]~~~\frac{\,45^\circ n\,}{\,45^\circ\,}&=&\frac{\,360^\circ\,}{\,45^\circ\,}\\[3pt]~~~n&=&8\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは 正八角形 となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (4)}~\)次の図において、\(\angle x\) の大きさを求めよ。
　①　

　②　

①　多角形の外角の和は \(180^\circ\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~160^\circ+80^\circ+\angle x&=&360^\circ\\[2pt]~~~240^\circ+\angle x&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&360^\circ-240^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&120^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\angle x=120^\circ\) となる

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②　

頂点 \({\rm B}\) における外角を \(\angle b\) とすると、内角が \(90^\circ\) より、

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\(~~~\angle b=180^\circ-90^\circ=90^\circ\)

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また、頂点 \({\rm C}\) における外角を \(\angle c\) とすると、外角の和が \(360^\circ\) より、

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\(\begin{eqnarray}~60^\circ+90^\circ+\angle c+60^\circ+70^\circ&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle c+280^\circ&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle c&=&360^\circ-280^\circ\\[2pt]~~~\angle c&=&80^\circ\end{eqnarray}\)

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\(\angle x\) は点 \({\rm C}\) の内角であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle x&=&180^\circ-\angle c\\[2pt]~~~&=&180^\circ-80^\circ\\[2pt]~~~&=&100^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\angle x=100^\circ\) となる