単項式と多項式の乗法・除法の解法
Point：単項式と多項式の乗法
分配法則を用いて計算する。
\(\begin{split}a(b+c)=a{\, \small \times \,} b+a{\, \small \times \,} c=ab+ac\end{split}\)
\(\begin{split}(a+b){\, \small \times \,} c=a{\, \small \times \,} c+b{\, \small \times \,} c=ac+bc\end{split}\)
■ 複数のかっこを含む乗法
それぞれの ( ) を分配法則で計算する。
\(\begin{split}&a(b+c)+d(e+f)
\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} b+a{\, \small \times \,} c+d{\, \small \times \,} e+d{\, \small \times \,} f
\\[2pt]~~=~&ab+ac+de+df
\end{split}\)
単項式と多項式の乗法の計算は、
分配法則を用いて計算する。
\(\begin{split}a(b+c)=a{\, \small \times \,} b+a{\, \small \times \,} c=ab+ac\end{split}\)
※ \(a\) を \(b\) と \(c\) にそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}(a+b){\, \small \times \,} c=a{\, \small \times \,} c+b{\, \small \times \,} c=ac+bc\end{split}\)
※ \(c\) を \(a\) と \(b\) にそれぞれ掛け算する。
■ 複数のかっこを含む乗法
それぞれの ( ) を分配法則で計算する。
\(\begin{split}&a(b+c)+d(e+f)
\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} b+a{\, \small \times \,} c+d{\, \small \times \,} e+d{\, \small \times \,} f
\\[2pt]~~=~&ab+ac+de+df
\end{split}\)
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Point：単項式と多項式の除法
分配法則を用いて計算する。
\(\begin{split}(a+b){\, \small \div \,} c=a{\, \small \div \,} c+b{\, \small \div \,} c=\frac{\, a\,}{\,c \,}+\frac{\, b\,}{\,c \,}\end{split}\)
■ 逆数の掛け算に変える方法
割り算 \({\, \small \div \,} c\) を逆数の掛け算 \(\begin{split}{\, \small \times \,}{\frac{\,1\,}{\,c\,}}\end{split}\) とすると、
\(\begin{split}&(a+b){\, \small \div \,} c\\[3pt]~~=~&(a+b){\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}\\[3pt]~~=~&a{\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}+b{\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}\\[3pt]~~=~&\frac{\, a\,}{\,c \,}+\frac{\, b\,}{\,c \,}\end{split}\)
単項式と多項式の除法の計算は、
分配法則を用いて計算する。
\(\begin{split}(a+b){\, \small \div \,} c=a{\, \small \div \,} c+b{\, \small \div \,} c=\frac{\, a\,}{\,c \,}+\frac{\, b\,}{\,c \,}\end{split}\)
※ \(c\) を \(a\) と \(b\) にそれぞれ割り算する。
■ 逆数の掛け算に変える方法
割り算 \({\, \small \div \,} c\) を逆数の掛け算 \(\begin{split}{\, \small \times \,}{\frac{\,1\,}{\,c\,}}\end{split}\) とすると、
\(\begin{split}&(a+b){\, \small \div \,} c\\[3pt]~~=~&(a+b){\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}\\[3pt]~~=~&a{\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}+b{\, \small \times \,} \frac{\, 1\,}{\,c \,}\\[3pt]~~=~&\frac{\, a\,}{\,c \,}+\frac{\, b\,}{\,c \,}\end{split}\)
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問題解説：単項式と多項式の乗法・除法
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~3a(x-2y)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~3a(x-2y)\end{split}\)
分配法則より、
\(3a\) を \(x\) と \(-2y\) にそれぞれ掛け算
すると、
\(\begin{split}&3a(x-2y)\\[2pt]~~=~&3a{\, \small \times \,} x+3a{\, \small \times \,} (-2y)\\[2pt]~~=~&3ax-6ay\end{split}\)
したがって、答えは \(3ax-6ay\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~(2a-3b){\, \small \times \,}(-2a)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~(2a-3b){\, \small \times \,}(-2a)\end{split}\)
分配法則より、
\(-2a\) を \(2a\) と \(-3b\) にそれぞれ掛け算
すると、
\(\begin{split}&(2a-3b){\, \small \times \,}(-2a)\\[2pt]~~=~&2a{\, \small \times \,} (-2a)-3b{\, \small \times \,} (-2a)\\[2pt]~~=~&-4a^2+6ab\end{split}\)
したがって、答えは \(-4a^2+6ab\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~3x(2x-3y+z)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~3x(2x-3y+z)\end{split}\)
分配法則より、
\(3x\) を \(2x\) と \(-3y\) と \(z\) にそれぞれ掛け算
すると、
\(\begin{split}&3x(2x-3y+z)\\[2pt]~~=~&3x{\, \small \times \,} 2x+3x{\, \small \times \,} (-3y)+3x{\, \small \times \,} z\\[2pt]~~=~&6x^2-9xy+3xz\end{split}\)
したがって、答えは \(6x^2-9xy+3xz\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~a(2a-1)+3a(a+4)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~a(2a-1)+3a(a+4)\end{split}\)
分配法則より、
\(a\) を \(2a\) と \(-1\) にそれぞれ掛け算
\(3a\) を \(a\) と \(4\) にそれぞれ掛け算
すると、
\(\begin{split}&a(2a-1)+3a(a+4)\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} 2a+a{\, \small \times \,} (-1)+3a{\, \small \times \,} a+3a{\, \small \times \,} 4\\[2pt]~~=~&2a^2-a+3a^2+12a\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(2a^2+3a^2)+(-a+12a)\\[2pt]~~=~&5a^2+11a\end{split}\)
したがって、答えは \(5a^2+11a\) となる。
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~2x(x+5)-3x(x-1)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~2x(x+5)-3x(x-1)\end{split}\)
分配法則より、
\(2x\) を \(x\) と \(5\) にそれぞれ掛け算
\(-3x\) を \(x\) と \(-1\) にそれぞれ掛け算
すると、
\(\begin{split}&2x(x+5)-3x(x-1)\\[2pt]~~=~&2x{\, \small \times \,} x+2x{\, \small \times \,} 5-3x{\, \small \times \,} x-3x{\, \small \times \,} (-1)\\[2pt]~~=~&2x^2+10x-3x^2+3x\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(2x^2-3x^2)+(10x+3x)\\[2pt]~~=~&-x^2+13x\end{split}\)
したがって、答えは \(-x^2+13x\) となる。
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~~(9a^2-21ab){\, \small \div \,}(-3a)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~~(9a^2-21ab){\, \small \div \,}(-3a)\end{split}\)
分配法則より、
\(-3a\) を \(9a^2\) と \(-21ab\) にそれぞれ割り算
すると、
\(\begin{split}&(9a^2-21ab){\, \small \div \,}(-3a)\\[2pt]~~=~&9a^2{\, \small \div \,}(-3a)-21ab{\, \small \div \,}(-3a)\\[2pt]~~=~&-3a+7b\end{split}\)
したがって、答えは \(-3a+7b\) となる。
【別解】
逆数 \(\begin{split}&-{\frac{\,1\,}{\,3a\,}}\end{split}\) の掛け算にすると、
\(\begin{split}&(9a^2-21ab){\, \small \div \,}(-3a)\\[3pt]~~=~&(9a^2-21ab){\, \small \times \,}\left(-\frac{\,1 \,}{\,3a \,}\right)\end{split}\)
分配法則より、
\(\begin{split}~~=~&9a^2{\, \small \times \,}\left(-\frac{\,1 \,}{\,3a \,}\right)-21ab{\, \small \times \,}\left(-\frac{\,1 \,}{\,3a \,}\right)\\[3pt]~~=~&-\frac{\,9a^2\,}{\,3a\,}+\frac{\,21ab\,}{\,3a\,}\\[3pt]~~=~&-3a+7b\end{split}\)
したがって、答えは \(-3a+7b\) となる。
問題解説(7)
問題
\(\begin{split}{\small (7)}~~(2x^2+3x){\, \small \div \,}\frac{\,x \,}{\,5 \,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (7)}~~(2x^2+3x){\, \small \div \,}\frac{\,x \,}{\,5 \,}\end{split}\)
逆数 \(\begin{split}{\frac{\,5\,}{\,x\,}}\end{split}\) の掛け算にすると、
\(\begin{split}&(2x^2+3x){\, \small \div \,}\frac{\,x \,}{\,5 \,}\\[3pt]~~=~&(2x^2+3x){\, \small \times \,}\frac{\,5 \,}{\,x \,}\end{split}\)
分配法則より、
\(\begin{split}~~=~&2x^2{\, \small \times \,}\frac{\,5 \,}{\,x \,}+3x{\, \small \times \,}\frac{\,5 \,}{\,x \,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2x^2{\, \small \times \,}5\,}{\,x\,}+\frac{\,3x{\, \small \times \,}5\,}{\,x\,}\\[3pt]~~=~&10x+15\end{split}\)
したがって、答えは \(10x+15\) となる。
問題解説(8)
問題
\(\begin{split}{\small (8)}~~(4a^2b-10ab){\, \small \div \,}\left(-\frac{\,2 \,}{\,3 \,}ab\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (8)}~~(4a^2b-10ab){\, \small \div \,}\left(-\frac{\,2 \,}{\,3 \,}ab\right)\end{split}\)
逆数 \(\begin{split}-{\frac{\,3\,}{\,2ab\,}}\end{split}\) の掛け算にすると、
\(\begin{split}&(4a^2b-10ab){\, \small \div \,}\left(-\frac{\,2 \,}{\,3 \,}ab\right)\\[3pt]~~=~&(4a^2b-10ab){\, \small \div \,}\left(-\frac{\,2ab \,}{\,3 \,}\right)
\\[3pt]~~=~&(4a^2b-10ab){\, \small \times \,}\left(-\frac{\,3 \,}{\,2ab \,}\right)\end{split}\)
分配法則より、
\(\begin{split}~~=~&4a^2b{\, \small \times \,}\left(-\frac{\,3 \,}{\,2ab \,}\right)-10ab{\, \small \times \,}\left(-\frac{\,3 \,}{\,2ab \,}\right)\\[3pt]~~=~&-\frac{\,4a^2b{\, \small \times \,}3\,}{\,2ab\,}+\frac{\,10ab{\, \small \times \,}3\,}{\,2ab\,}\\[3pt]~~=~&-6a+15\end{split}\)
したがって、答えは \(-6a+15\) となる。
※ \(\begin{split}-{\frac{\,2\,}{\,3\,}}ab\end{split}\) の逆数は、\(\begin{split}-{\frac{\,3\,}{\,2\,}}ab\end{split}\) とはならないので注意！
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
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