多項式の乗法(式の展開)の解法
積の形 \((a+b)(c+d)\) で表された式を ( ) のない多項式で表すことを「式の展開」という。
分配法則を用いた式の展開は、
\(\begin{split}&(a+b)(c+d)\\[2pt]=~&a{\, \small \times \,}c+a{\, \small \times \,}d+b{\, \small \times \,}c+b{\, \small \times \,}d\\[2pt]=~&ac+ad+bc+bd\end{split}\)
左の ( ) の \(a\) を右の ( ) の \(c\) と \(d\) に
左の ( ) の \(b\) を右の ( ) の \(c\) と \(d\) に
それぞれ掛け算すると考える。
■ 同類項のある場合
展開したあとに同類項をまとめる。
\(\begin{split}&(3x-1)(x+2)
\\[2pt]~~=~&3x{\, \small \times \,}x+3x{\, \small \times \,}2-1{\, \small \times \,}x-1{\, \small \times \,}2
\\[2pt]~~=~&3x^2+6x-x-2
\\[2pt]~~=~&3x^2+5x-2
\end{split}\)
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問題解説：多項式の乗法(式の展開)
問題解説(1)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~(x-2)(y+3)\end{split}\)
左の ( ) の \(x\) を右の ( ) の \(y\) と \(3\) に
左の ( ) の \(-2\) を右の ( ) の \(y\) と \(3\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(x-2)(y+3)\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} y+x{\, \small \times \,} 3-2{\, \small \times \,} y-2{\, \small \times \,} 3\\[2pt]~~=~&xy+3x-2y-6\end{split}\)
したがって、答えは \(xy+3x-2y-6\) となる。
問題解説(2)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~(a-1)(b-5)\end{split}\)
左の ( ) の \(a\) を右の ( ) の \(b\) と \(-5\) に
左の ( ) の \(-1\) を右の ( ) の \(b\) と \(-5\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(a-1)(b-5)\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} b+a{\, \small \times \,} (-5)-1{\, \small \times \,} b-1{\, \small \times \,} (-5)\\[2pt]~~=~&ab-5a-b+5\end{split}\)
したがって、答えは \(ab-5a-b+5\) となる。
問題解説(3)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~(2a+1)(a-3)\end{split}\)
左の ( ) の \(2a\) を右の ( ) の \(a\) と \(-3\) に
左の ( ) の \(1\) を右の ( ) の \(a\) と \(-3\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(2a+1)(a-3)\\[2pt]~~=~&2a{\, \small \times \,} a+2a{\, \small \times \,} (-3)+1{\, \small \times \,} a+1{\, \small \times \,} (-3)\\[2pt]~~=~&2a^2-6a+a-3\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&2a^2+(-6+1)a-3\\[2pt]~~=~&2a^2-5a-3\end{split}\)
したがって、答えは \(2a^2-5a-3\) となる。
問題解説(4)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~(x-y)(3x-5y)\end{split}\)
左の ( ) の \(x\) を右の ( ) の \(3x\) と \(-5y\) に
左の ( ) の \(-y\) を右の ( ) の \(3x\) と \(-5y\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(x-y)(3x-5y)\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} 3x+x{\, \small \times \,} (-5y)-y{\, \small \times \,} 3x-y{\, \small \times \,} (-5y)\\[2pt]~~=~&3x^2-5xy-3xy+5y^2\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&3x^2+(-5-3)xy+5y^2\\[2pt]~~=~&3x^2-8xy+5y^2\end{split}\)
したがって、答えは \(3x^2-8xy+5y^2\) となる。
問題解説(5)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~(x+1)(x-y+3)\end{split}\)
左の ( ) の \(x\) を右の ( ) の \(x\) と \(-y\) と \(3\) に
左の ( ) の \(1\) を右の ( ) の \(x\) と \(-y\) と \(3\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(x+1)(x-y+3)\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} x+x{\, \small \times \,} (-y)+x{\, \small \times \,} 3\\[2pt]~~~&\hspace{25pt}+ 1{\, \small \times \,} x+1{\, \small \times \,} (-y)+1{\, \small \times \,} 3\\[2pt]~~=~&x^2-xy+3x+x-y+3\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}&x^2-xy+(3+1)x-y+3\\[2pt]~~=~&x^2-xy+4x-y+3\end{split}\)
したがって、答えは \(x^2-xy+4x-y+3\) となる。
問題解説(6)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~~(a-2b+4)(a-3)\end{split}\)
左の ( ) の \(a\) を右の ( ) の \(a\) と \(-3\) に
左の ( ) の \(-2b\) を右の ( ) の \(a\) と \(-3\) に
左の ( ) の \(4\) を右の ( ) の \(a\) と \(-3\) に
それぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}&(a-2b+4)(a-3)\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} a+a{\, \small \times \,} (-3)\\[2pt]~~~&\hspace{25pt} -2b{\, \small \times \,} a-2b{\, \small \times \,} (-3)\\[2pt]~~~&\hspace{50pt} +4{\, \small \times \,} a+4{\, \small \times \,} (-3)\\[2pt]~~=~&a^2-3a-2ab+6b+4a-12\end{split}\)
同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&a^2-2ab+(-3+4)a+6b-12\\[2pt]~~=~&a^2-2ab+a+6b-12\end{split}\)
したがって、答えは \(a^2-2ab+a+6b-12\) となる。
