いろいろな式の展開の解法
Point：文字の係数が１でない式の展開
\(\begin{split}~~~~~(2x+1)^2\end{split}\)
① \(2x=X\) とおき換える。
\(\begin{split}~~=~&(X+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式を使って展開する。
\(\begin{split}~~=~&X^2+2{\, \small \times \,} 1{\, \small \times \,} X+1^2\\[2pt]~~=~&X^2+2X+1\end{split}\)
③ おき換えた文字をと元に戻す。
※ ( ) を付けたままに元に戻す。
\(\begin{split}~~=~&(2x)^2+2(2x)+1\\[2pt]~~=~&4x^2+4x+1\end{split}\)
文字の係数が \(1\) でない式の展開は、
\(\begin{split}~~~~~(2x+1)^2\end{split}\)
① \(2x=X\) とおき換える。
\(\begin{split}~~=~&(X+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式を使って展開する。
\(\begin{split}~~=~&X^2+2{\, \small \times \,} 1{\, \small \times \,} X+1^2\\[2pt]~~=~&X^2+2X+1\end{split}\)
③ おき換えた文字をと元に戻す。
※ ( ) を付けたままに元に戻す。
\(\begin{split}~~=~&(2x)^2+2(2x)+1\\[2pt]~~=~&4x^2+4x+1\end{split}\)
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Point：共通部分のおき換えと展開
\(\begin{split}~~~~~(x+y)(x+y+3)\end{split}\)
① 共通している部分を別の文字におき換える。
\(x+y=X\) とすると、
\(\begin{split}&(x+y)(x+y+3)\\[2pt]~~=~&X(X+3)\end{split}\)
② おき換えた文字について、式を展開する。
\(\begin{split}~~=~&X^2+3X\end{split}\)
③ おき換えた文字をと元に戻す。
※ ( ) を付けたままに元に戻す。
\(\begin{split}~~=~&(x+y)^2+3(x+y)\end{split}\)
④ さらに展開して、答えを求める。
\(\begin{split}~~=~&x^2+2xy+y^2+3x+3y\end{split}\)
共通部分のある式の展開は、
\(\begin{split}~~~~~(x+y)(x+y+3)\end{split}\)
① 共通している部分を別の文字におき換える。
\(x+y=X\) とすると、
\(\begin{split}&(x+y)(x+y+3)\\[2pt]~~=~&X(X+3)\end{split}\)
② おき換えた文字について、式を展開する。
\(\begin{split}~~=~&X^2+3X\end{split}\)
③ おき換えた文字をと元に戻す。
※ ( ) を付けたままに元に戻す。
\(\begin{split}~~=~&(x+y)^2+3(x+y)\end{split}\)
④ さらに展開して、答えを求める。
\(\begin{split}~~=~&x^2+2xy+y^2+3x+3y\end{split}\)
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Point：２つの式の展開
\(\begin{split}~~~~~(x+2)^2-(x-1)(x+3)\end{split}\)
① それぞれの( ) を展開する。
※ 展開した式は ( ) を付けたままにする。
\(\begin{split}&(x+2)^2-(x-1)(x+3)\\[2pt]~~=~&(x^2+4x+4)-(x^2+2x-3)\end{split}\)
② ( ) を外して、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&x^2+4x+4-x^2-2x+3\\[2pt]~~=~&2x+7\end{split}\)
多項式の積が２つある式の展開は、
\(\begin{split}~~~~~(x+2)^2-(x-1)(x+3)\end{split}\)
① それぞれの( ) を展開する。
※ 展開した式は ( ) を付けたままにする。
\(\begin{split}&(x+2)^2-(x-1)(x+3)\\[2pt]~~=~&(x^2+4x+4)-(x^2+2x-3)\end{split}\)
② ( ) を外して、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&x^2+4x+4-x^2-2x+3\\[2pt]~~=~&2x+7\end{split}\)
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問題解説：いろいろな式の展開
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~(3x-2)^2\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~(3x-2)^2\end{split}\)
\(3x=X\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(3x-2)^2\\[2pt]~~=~&(X-2)^2\end{split}\)
乗法公式
\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&X^2+2{\, \small \times \,} (-2) {\, \small \times \,} X+(-2)^2\\[2pt]~~=~&X^2-4X+4\end{split}\)
\(X=3x\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(3x)^2-4{\, \small \times \,} (3x)+4\\[2pt]~~=~&9x^2-12x+4\end{split}\)
したがって、答えは \(9x^2-12x+4\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~(2x+5)(2x-1)\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~(2x+5)(2x-1)\end{split}\)
\(2x=X\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(2x+5)(2x-1)\\[2pt]~~=~&(X+5)(X-1)\end{split}\)
乗法公式
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) より、
\(\begin{split}~~=~&X^2+4X-5\end{split}\)
\(X=2x\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(2x)^2+4{\, \small \times \,} (2x)-5\\[2pt]~~=~&4x^2+8x-5\end{split}\)
したがって、答えは \(4x^2+8x-5\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~(5x+7y)^2\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~(5x+7y)^2\end{split}\)
\(5x=X~,~7y=Y\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(5x+7y)^2\\[2pt]~~=~&(X+Y)^2\end{split}\)
乗法公式
\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&X^2+2XY+Y^2\end{split}\)
\(X=5x~,~Y=7y\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(5x)^2+2{\, \small \times \,} (5x) {\, \small \times \,} (7y)+(7y)^2\\[2pt]~~=~&25x^2+70xy+49y^2\end{split}\)
したがって、答えは \(25x^2+70xy+49y^2\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~(2a+3b)(2a-3b)\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~(2a+3b)(2a-3b)\end{split}\)
\(2a=A~,~3b=B\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(2a+3b)(2a-3b)\\[2pt]~~=~&(A+B)(A-B)\end{split}\)
乗法公式
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&A^2-B^2\end{split}\)
\(A=2a~,~B=3b\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(2a)^2-(3b)^2\\[2pt]~~=~&4a^2-9b^2\end{split}\)
したがって、答えは \(4a^2-9b^2\) となる。
【別解】
\(2a\) と \(3b\) をそれぞれ１つの文字と考えて、
乗法公式
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、
\(\begin{split}&(2a+3b)(2a-3b)\\[2pt]~~=~&(2a)^2-(3b)^2\\[2pt]~~=~&4a^2-9b^2\end{split}\)
したがって、答えは \(4a^2-9b^2\) となる。
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~(x+y-5)(x+y+1)\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~(x+y-5)(x+y+1)\end{split}\)
\(x+y=X\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(x+y-5)(x+y+1)\\[2pt]~~=~&(X-5)(X+1)\end{split}\)
乗法公式
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) より、
\(\begin{split}~~=~&X^2-4X-5\end{split}\)
\(X=x+y\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(x+y)^2-4(x+y)-5\end{split}\)
さらに ( ) を展開すると、
\(\begin{split}~~=~&(x^2+2xy+y^2)-4{\, \small \times \,} x-4{\, \small \times \,} y-5\\[2pt]~~=~&x^2+2xy+y^2-4x-4y-5\end{split}\)
したがって、
答えは \(x^2+2xy+y^2-4x-4y-5\) となる。
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~~(a-b+3)^2\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~~(a-b+3)^2\end{split}\)
\(a-b=X\) とおきかえると、
\(\begin{split}&(a-b+3)^2\\[2pt]~~=~&(X+3)^2\end{split}\)
乗法公式
\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&X^2+6X+9\end{split}\)
\(X=a-b\) と元に戻すと、
※ ( ) を付けたまま。
\(\begin{split}~~=~&(a-b)^2+6(a-b)+9\end{split}\)
さらに ( ) を展開すると、
\(\begin{split}~~=~&(a^2-2ab+b^2)+6{\, \small \times \,} a+6{\, \small \times \,}(-b)+9\\[2pt]~~=~&a^2-2ab+b^2+6a-6b+9\end{split}\)
したがって、
答えは \(a^2-2ab+b^2+6a-6b+9\) となる。
問題解説(7)
問題
\(\begin{split}{\small (7)}~~2x(x+1)-(x-2)(x+3)\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (7)}~~2x(x+1)-(x-2)(x+3)\end{split}\)
それぞれの ( ) を展開すると、
\(\begin{split}&2x(x+1)\\[2pt]~~=~&2x{\, \small \times \,} x +2x {\, \small \times \,} 1\\[2pt]~~=~&2x^2+2x\end{split}\)
後半部分は、
\(\begin{split}&(x-2)(x+3)\\[2pt]~~=~&x^2+1{\, \small \times \,} x-6\\[2pt]~~=~&x^2+x-6\end{split}\)
よって、 ( ) を付けたまま展開すると、
\(\begin{split}&2x(x+1)-(x-2)(x+3)\\[2pt]~~=~&(2x^2+2x)-(x^2+x-6)\end{split}\)
( ) を外して同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&2x^2+2x-x^2-x+6\\[2pt]~~=~&(2x^2-x^2)+(2x-x)+6\\[2pt]~~=~&x^2+x+6\end{split}\)
したがって、答えは \(x^2+x+6\) となる。
問題解説(8)
問題
\(\begin{split}{\small (8)}~~(a-3)(a+3)-(a-5)^2\end{split}\)
次の式を展開せよ。
\(\begin{split}{\small (8)}~~(a-3)(a+3)-(a-5)^2\end{split}\)
それぞれの ( ) を展開すると、
\(\begin{split}&(a-3)(a+3)\\[2pt]~~=~&a^2-3^2\\[2pt]~~=~&a^2-9\end{split}\)
後半部分は、
\(\begin{split}&(a-5)^2
\\[2pt]~~=~&a^2+2{\, \small \times \,}(-5){\, \small \times \,} a+(-5)^2\\[2pt]~~=~&a^2-10a+25\end{split}\)
よって、 ( ) を付けたまま展開すると、
\(\begin{split}&(a-3)(a+3)-(a-5)^2\\[2pt]~~=~&(a^2-9)-(a^2-10a+25)\end{split}\)
( ) を外して同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&a^2-9-a^2+10a-25\\[2pt]~~=~&(a^2-a^2)+10a+(-9-25)\\[2pt]~~=~&10a-34\end{split}\)
したがって、答えは \(10a-34\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
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