共通因数と因数分解

Point：共通因数と因数分解

多項式をいくつかの式(因数)の積で表すことを「因数分解」という。

---

それぞれの項の共通している数や文字を「共通因数」といい、共通因数を (　) の前にくくり出すことで因数分解できる。

---

■ 共通因数のくくり出す因数分解

---

\(\begin{split}~~~~~8x^2-2xy\end{split}\)

---

① それぞれの項を積で表し、共通因数を調べる。

---

\(\begin{eqnarray}~8x^2&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}x
\\[3pt]~~~-2xy&=&-1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}y
\end{eqnarray}\)

---

② それぞれの項の共通因数でくくり出す。

---

　\(2{\, \small \times \,}x=2x\) が共通因数であるので、

---

\(\begin{split}&8x^2-2xy
\\[2pt]~~=~&2x{\, \small \times \,} 4x+2x{\, \small \times \,} (-y)
\\[2pt]~~=~&2x(4x-y)
\end{split}\)

---

©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com

問題

次の式を因数分解せよ。

---

\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2-5x\end{split}\)

それぞれの項を積で表すと、

---

\(\begin{eqnarray}~x^2&=&x{\, \small \times \,}x
\\[3pt]~~~-5x&=&-1{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}x
\end{eqnarray}\)

---

共通因数 \(x\) でくくり出すと、

---

\(\begin{split}&x^2-5x
\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} x+x{\, \small \times \,} (-5)
\\[2pt]~~=~&x(x-5)
\end{split}\)

---

したがって、答えは \(x(x-5)\) となる。

問題

次の式を因数分解せよ。

---

\(\begin{split}{\small (2)}~~6a^2b-4ab^2\end{split}\)

それぞれの項を積で表すと、

---

\(\begin{eqnarray}~6a^2b&=&2{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}b
\\[3pt]~~~-4ab^2&=&-1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}b{\, \small \times \,}b
\end{eqnarray}\)

---

共通因数 \(2{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}b=2ab\) でくくり出すと、

---

\(\begin{split}&6a^2b-4ab^2
\\[2pt]~~=~&2ab{\, \small \times \,} 3a+2ab{\, \small \times \,} (-2b)
\\[2pt]~~=~&2ab(3a-2b)
\end{split}\)

---

したがって、答えは \(2ab(3a-2b)\) となる。

問題

次の式を因数分解せよ。

---

\(\begin{split}{\small (3)}~~15x^2y-10xy^2+5xy\end{split}\)

それぞれの項を積で表すと、

---

\(\begin{eqnarray}~15x^2y&=&3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~-10xy^2&=&-1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}y{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~5xy&=&5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}y
\end{eqnarray}\)

---

共通因数 \(5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}y=5xy\) でくくり出すと、

---

\(\begin{split}&15x^2y-10xy^2+5xy
\\[2pt]~~=~&5xy{\, \small \times \,} 3x+5xy{\, \small \times \,} (-2y)+5xy {\, \small \times \,} 1
\\[2pt]~~=~&5xy(3x-2y+1)
\end{split}\)

---

したがって、答えは \(5xy(3x-2y+1)\) となる。

問題

次の式を因数分解せよ。

---

\(\begin{split}{\small (4)}~~4a^3+8a^2-2a\end{split}\)

それぞれの項を積で表すと、

---

\(\begin{eqnarray}~4a^3&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}a
\\[3pt]~~~8a^2&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}a{\, \small \times \,}a
\\[3pt]~~~-2a&=&-1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}a
\end{eqnarray}\)

---

共通因数 \(2{\, \small \times \,}a=2a\) でくくり出すと、

---

\(\begin{split}&4a^3+8a^2-2a
\\[2pt]~~=~&2a{\, \small \times \,} 2a^2+2a{\, \small \times \,} 4a+2a {\, \small \times \,} (-1)
\\[2pt]~~=~&2a(2a^2+4a-1)
\end{split}\)

---

したがって、答えは \(2a(2a^2+4a-1)\) となる。