今回の問題は「展開・因数分解と図形の性質」です。
\(~~~\)数研出版 これからの数学３ p.36 問5
\(~~~\)東京書籍 新しい数学３ p.35 例2
\(~~~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.32 問6
問題
次の図のように、長方形の土地のまわりに幅 \(a~{\rm m}\) の道がある。この道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) で道の面積が \(S~{\rm m}^2\) である。
このとき、\(S=al\) が成り立つことを証明せよ。
Point：道の長さと面積の関係
道幅 \(a~{\rm m}\) 、道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) 、道の面積 \(S~{\rm m}^2\) であるとき、
\(S=al\)
これを証明する手順は、
① 内側の土地の縦の長さを \(x~{\rm m}\) 、横の長さを \(y~{\rm m}\) とする。
③ 道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) を道幅の半分の長さ \(\begin{split}{\frac{\,a\,}{\,2\,}}~{\rm m}\end{split}\) を用いて求める。
④ ②と③の式を比較して、\(S=al\) となることを証明する。
■ 道の長さと面積の関係
道幅 \(a~{\rm m}\) 、道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) 、道の面積 \(S~{\rm m}^2\) であるとき、
\(S=al\)
これを証明する手順は、
① 内側の土地の縦の長さを \(x~{\rm m}\) 、横の長さを \(y~{\rm m}\) とする。
② 道の面積 \(S~{\rm m}^2\) を「全体の面積ー内側の土地の面積」から求める。
③ 道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) を道幅の半分の長さ \(\begin{split}{\frac{\,a\,}{\,2\,}}~{\rm m}\end{split}\) を用いて求める。
④ ②と③の式を比較して、\(S=al\) となることを証明する。
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