√aの形に式変形の解法
Point：√aの形に式変形
\(\begin{split}x{\, \small \times \,}\sqrt{y}=\sqrt{y}{\, \small \times \,}x=x\sqrt{y}\end{split}\)
■ √aの形に式変形
\(x> 0~,~y > 0\) のとき、\(x\sqrt{y}\) は、
① \(x=\sqrt{x^2}\) とする。
② ルートの中の数同士を掛け算する。
\(\begin{split}~~~~~x\sqrt{y}=\sqrt{x^2}{\, \small \times \,}\sqrt{y}=\sqrt{x^2{\, \small \times \,} y}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}x\sqrt{y}=\sqrt{x^2y}\end{split}\)
■ 分数タイプ
\(x> 0~,~y > 0\) のとき、\(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,x\,}}\end{split}\) は、
① \(x=\sqrt{x^2}\) とする。
② １つのルートにまとめて、約分する。
\(\begin{split}\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,x\,}=\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,\sqrt{x^2}\,}=\sqrt{\frac{\,y\,}{\,x^2\,}}\end{split}\)
数と平方根の積は、文字式と同じように表す。
\(\begin{split}x{\, \small \times \,}\sqrt{y}=\sqrt{y}{\, \small \times \,}x=x\sqrt{y}\end{split}\)
■ √aの形に式変形
\(x> 0~,~y > 0\) のとき、\(x\sqrt{y}\) は、
① \(x=\sqrt{x^2}\) とする。
② ルートの中の数同士を掛け算する。
\(\begin{split}~~~~~x\sqrt{y}=\sqrt{x^2}{\, \small \times \,}\sqrt{y}=\sqrt{x^2{\, \small \times \,} y}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}x\sqrt{y}=\sqrt{x^2y}\end{split}\)
■ 分数タイプ
\(x> 0~,~y > 0\) のとき、\(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,x\,}}\end{split}\) は、
① \(x=\sqrt{x^2}\) とする。
② １つのルートにまとめて、約分する。
\(\begin{split}\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,x\,}=\frac{\,\sqrt{y}\,}{\,\sqrt{x^2}\,}=\sqrt{\frac{\,y\,}{\,x^2\,}}\end{split}\)
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問題解説：√aの形に式変形
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~2\sqrt{3}\end{split}\)
次の数を式変形して \(\sqrt{a}\) の形で表せ。
\(\begin{split}{\small (1)}~2\sqrt{3}\end{split}\)
\(2=\sqrt{2^2}\) であるので、
\(\begin{split}&2\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\end{split}\)
ルートの中の数同士を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{4{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{12}\end{split}\)
したがって、答えは \(\sqrt{12}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~3\sqrt{5}\end{split}\)
次の数を式変形して \(\sqrt{a}\) の形で表せ。
\(\begin{split}{\small (2)}~3\sqrt{5}\end{split}\)
\(3=\sqrt{3^2}\) であるので、
\(\begin{split}&3\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{5}\end{split}\)
ルートの中の数同士を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{9{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{45}\end{split}\)
したがって、答えは \(\sqrt{45}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~4\sqrt{7}\end{split}\)
次の数を式変形して \(\sqrt{a}\) の形で表せ。
\(\begin{split}{\small (3)}~4\sqrt{7}\end{split}\)
\(4=\sqrt{4^2}\) であるので、
\(\begin{split}&4\sqrt{7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{4^2}{\, \small \times \,}\sqrt{7}\end{split}\)
ルートの中の数同士を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{4^2{\, \small \times \,}7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{16{\, \small \times \,}7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{112}\end{split}\)
したがって、答えは \(\sqrt{112}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\frac{\,\sqrt{28}\,}{\,2\,}\end{split}\)
次の数を式変形して \(\sqrt{a}\) の形で表せ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\frac{\,\sqrt{28}\,}{\,2\,}\end{split}\)
\(2=\sqrt{2^2}\) であるので、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{28}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{28}\,}{\,\sqrt{2^2}\,}\end{split}\)
１つのルートにまとめて、約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\sqrt{\frac{\,28\,}{\,4\,}}
\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,\cancel{28}^{7}\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}}\\[3pt]~~=~&\sqrt{7}\end{split}\)
したがって、答えは \(\sqrt{7}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\frac{\,\sqrt{45}\,}{\,3\,}\end{split}\)
次の数を式変形して \(\sqrt{a}\) の形で表せ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\frac{\,\sqrt{45}\,}{\,3\,}\end{split}\)
\(3=\sqrt{3^2}\) であるので、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{45}\,}{\,3\,}\\[2pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{45}\,}{\,\sqrt{3^2}\,}\end{split}\)
１つのルートにまとめて、約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\sqrt{\frac{\,45\,}{\,9\,}}
\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,\cancel{45}^{5}\,}{\,\cancel{9}^{1}\,}}\\[3pt]~~=~&\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(\sqrt{5}\) となる
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