a√bの形に式変形の解法
Point：a√bの形に式変形
\(a> 0~,~b > 0\) のとき、
① ルートの中を素因数分解して、\(\sqrt{a^2{\, \small \times \,} b}\) の形に式変形する。
② ２乗の数のルートを外して、積の形にする。
\(\begin{split}&~~~\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}{\, \small \times \,}\sqrt{b}=a\sqrt{b}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\end{split}\)
※ \(\sqrt{27}=\sqrt{3^3}\) などの計算は、
\(\begin{split}&3^3=3^2{\, \small \times \,} 3\end{split}\) と分けて、
\(\begin{split}&~~~\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\end{split}\)
となる。
a√bの形に式変形する方法は、
\(a> 0~,~b > 0\) のとき、
① ルートの中を素因数分解して、\(\sqrt{a^2{\, \small \times \,} b}\) の形に式変形する。
② ２乗の数のルートを外して、積の形にする。
\(\begin{split}&~~~\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}{\, \small \times \,}\sqrt{b}=a\sqrt{b}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\end{split}\)
※ \(\sqrt{27}=\sqrt{3^3}\) などの計算は、
\(\begin{split}&3^3=3^2{\, \small \times \,} 3\end{split}\) と分けて、
\(\begin{split}&~~~\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\end{split}\)
となる。
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問題解説：a√bの形に式変形
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
① \(\sqrt{8}\) \(\hspace{4pt}\) ② \(\sqrt{12}\)
③ \(\sqrt{18}\) ④ \(\sqrt{20}\)
⑤ \(\sqrt{24}\) ⑥ \(\sqrt{28}\)
⑦ \(\sqrt{32}\) ⑧ \(\sqrt{40}\)
⑨ \(\sqrt{44}\) ⑩ \(\sqrt{45}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
① \(\sqrt{8}\) \(\hspace{4pt}\) ② \(\sqrt{12}\)
③ \(\sqrt{18}\) ④ \(\sqrt{20}\)
⑤ \(\sqrt{24}\) ⑥ \(\sqrt{28}\)
⑦ \(\sqrt{32}\) ⑧ \(\sqrt{40}\)
⑨ \(\sqrt{44}\) ⑩ \(\sqrt{45}\)
① \(\sqrt{8}\)
\(8=2^3\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{8}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\end{split}\)
※ \(2^3\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2\) と分ける。
したがって、答えは \(2\sqrt{2}\) となる
② \(\sqrt{12}\)
\(12=2^2{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{split}~~~\sqrt{12}=\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{3}\) となる
③ \(\sqrt{18}\)
\(18=2{\, \small \times \,}3^2\) より、
\(\begin{split}~~~\sqrt{18}=\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}=\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=3\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(3\sqrt{2}\) となる
④ \(\sqrt{20}\)
\(20=2^2{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}~~~\sqrt{20}=\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{5}=2\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{5}\) となる
⑤ \(\sqrt{24}\)
\(24=2^3{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{24}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^3{\, \small \times \,} 3}\end{split}\)
※ \(2^3\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{6}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{6}\) となる
⑥ \(\sqrt{28}\)
\(28=2^2{\, \small \times \,}7\) より、
\(\begin{split}~~~\sqrt{28}=\sqrt{2^2{\, \small \times \,}7}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{7}=2\sqrt{7}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{7}\) となる
⑦ \(\sqrt{32}\)
\(32=2^5\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{32}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^5}\end{split}\)
※ \(2^5\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2^2 {\, \small \times \,} 2\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&4\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(4\sqrt{2}\) となる
※ \(32=4^2{\, \small \times \,}2\) として考えてもよい。
⑧ \(\sqrt{40}\)
\(40=2^3{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{40}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^3{\, \small \times \,}5}\end{split}\)
※ \(2^3\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{10}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{10}\) となる
⑨ \(\sqrt{44}\)
\(44=2^2{\, \small \times \,}11\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{44}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}11}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{11}=2\sqrt{11}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{11}\) となる
⑩ \(\sqrt{45}\)
\(45=3^2{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}~~~\sqrt{45}=\sqrt{3^2{\, \small \times \,}5}=\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(3\sqrt{5}\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
① \(\sqrt{48}\) ② \(\sqrt{50}\)
③ \(\sqrt{52}\) ④ \(\sqrt{54}\)
⑤ \(\sqrt{56}\) ⑥ \(\sqrt{60}\)
⑦ \(\sqrt{68}\) ⑧ \(\sqrt{90}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
① \(\sqrt{48}\) ② \(\sqrt{50}\)
③ \(\sqrt{52}\) ④ \(\sqrt{54}\)
⑤ \(\sqrt{56}\) ⑥ \(\sqrt{60}\)
⑦ \(\sqrt{68}\) ⑧ \(\sqrt{90}\)
① \(\sqrt{48}\)
\(48=2^4{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{48}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^4{\, \small \times \,}3}\end{split}\)
※ \(2^4\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2^2\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&4\sqrt{3}\end{split}\)
したがって、答えは \(4\sqrt{3}\) となる
※ \(48=4^2{\, \small \times \,}3\) として考えてもよい。
② \(\sqrt{50}\)
\(50=2{\, \small \times \,}5^2\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{50}\\[2pt]~~=~&\sqrt{5^2{\, \small \times \,}2}=\sqrt{5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=5\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(5\sqrt{2}\) となる
③ \(\sqrt{52}\)
\(52=2^2{\, \small \times \,}13\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{52}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}13}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{13}=2\sqrt{13}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{13}\) となる
④ \(\sqrt{54}\)
\(54=2{\, \small \times \,}3^3\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{54}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}3^3}\end{split}\)
※ \(3^3\) を \(3^2{\, \small \times \,} 3\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}3}=3\sqrt{6}\end{split}\)
したがって、答えは \(3\sqrt{6}\) となる
⑤ \(\sqrt{56}\)
\(56=2^3{\, \small \times \,}7\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{56}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^3{\, \small \times \,}7}\end{split}\)
※ \(2^3\) を \(2^2{\, \small \times \,} 2\) と分ける。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}7}=2\sqrt{14}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{14}\) となる
⑥ \(\sqrt{60}\)
\(60=2^2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{60}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{15}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{15}\) となる
⑦ \(\sqrt{68}\)
\(68=2^2{\, \small \times \,}17\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{68}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}17}=\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{17}=2\sqrt{17}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{17}\) となる
⑧ \(\sqrt{90}\)
\(90=2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{90}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&3\sqrt{10}\end{split}\)
したがって、答えは \(3\sqrt{10}\) となる
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