２次方程式と解の公式

Point：２次方程式と解の公式

■ ２次方程式と解の公式
２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は、

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たとえば、\(2x^2-2x-1=0\) の解は、
① 式より \(a~,~b~,~c\) の値を確認する。

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　\(2x^2-2x-1=0\) より、
　　\(a=2~,~b=-2~,~c=-1\)

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② 解の公式を使う。

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}(-1)}\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\pm2\sqrt{3}\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\left(1\pm\sqrt{3}\right)\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\pm\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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　※ 約分を忘れないようにする。

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問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+5x+3=0\end{split}\)

\(1\cdot x^2+5x+3=0\) より、
\(a=1~,~b=5~,~c=3\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{5^2-4{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}3}\,}{\,2{\, \small \times \,}1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{25-12}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{13}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}x={\frac{\,-5\pm\sqrt{13}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (2)}~~2x^2-3x-1=0\end{split}\)

\(2x^2-3x-1=0\) より、
\(a=2~,~b=-3~,~c=-1\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}(-1)}\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\pm\sqrt{9+8}\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\pm\sqrt{17}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}x={\frac{\,3\pm\sqrt{17}\,}{\,4\,}}\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2+6x+4=0\end{split}\)

\(1\cdot x^2+6x+4=0\) より、
\(a=1~,~b=6~,~c=4\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-6\pm\sqrt{6^2-4{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}4}\,}{\,2{\, \small \times \,}1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-6\pm\sqrt{36-16}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-6\pm\sqrt{20}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-6\pm2\sqrt{5}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\left(-3\pm\sqrt{5}\right)\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&-3\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=-3\pm\sqrt{5}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (4)}~~4x^2+4x-11=0\end{split}\)

\(4x^2+4x-11=0\) より、
\(a=4~,~b=4~,~c=-11\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-4\pm\sqrt{4^2-4{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}(-11)}\,}{\,2{\, \small \times \,}4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-4\pm\sqrt{16+176}\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-4\pm\sqrt{192}\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-4\pm\sqrt{8^2{\, \small \times \,}3}\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-4\pm8\sqrt{3}\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,4\left(-1\pm2\sqrt{3}\right)\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-1\pm2\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}x={\frac{\,-1\pm2\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (5)}~~2x^2+5x-3=0\end{split}\)

\(2x^2+5x-3=0\) より、
\(a=2~,~b=5~,~c=-3\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{5^2-4{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}(-3)}\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{25+24}\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{49}\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm\sqrt{7^2}\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-5\pm7\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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ここで \(\pm\) を分けてそれぞれ計算すると、

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\(\begin{split}x={\frac{\,-5+7\,}{\,4\,}}\end{split}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x=\frac{\,-5+7\,}{\,4\,}=\frac{\,2\,}{\,4\,}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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また、\(\begin{split}x={\frac{\,-5-7\,}{\,4\,}}\end{split}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x=\frac{\,-5-7\,}{\,4\,}=\frac{\,-12\,}{\,4\,}=-3\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}x={\frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~-3\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (6)}~~3x^2-11x-4=0\end{split}\)

\(3x^2-11x-4=0\) より、
\(a=3~,~b=-11~,~c=-4\) として、解の公式を使うと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}(-4)}\,}{\,2{\, \small \times \,}3\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,11\pm\sqrt{121+48}\,}{\,6\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,11\pm\sqrt{169}\,}{\,6\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,11\pm\sqrt{13^2}\,}{\,6\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,11\pm13\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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ここで \(\pm\) を分けてそれぞれ計算すると、

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\(\begin{split}x={\frac{\,11+13\,}{\,6\,}}\end{split}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x=\frac{\,11+13\,}{\,6\,}=\frac{\,24\,}{\,6\,}=4\end{eqnarray}\)

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また、\(\begin{split}x={\frac{\,11-13\,}{\,6\,}}\end{split}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x=\frac{\,11-13\,}{\,6\,}=\frac{\,-2\,}{\,6\,}=-\frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}x=4~,~-{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる