円周角の定理と相似

今回の問題は「円周角の定理と相似」です。

\(~\)数研出版これからの数学３ p.182~183 問3~6
\(~\)東京書籍新しい数学３ p.181 問2~4
\(~\)啓林館未来へひろがる数学３ p.174 問5~6

問題

次の証明をせよ。

\({\small (1)}~\)次の図で、弦 \({\rm AB}\) と弦 \({\rm CD}\) との交点を \({\rm P}\) とするとき、
　\(\triangle {\rm PAC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PDB}\)
であることを証明せよ。

\({\small (2)}~\)次の図で、弦 \({\rm AB}\) と弦 \({\rm CD}\) を延長した直線の交点を \({\rm P}\) とするとき、
　\(\triangle {\rm PAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PCB}\)
であることを証明せよ。

\({\small (3)}~\)次の図で、弦 \({\rm AB}\) と弦 \({\rm CD}\) との交点を \({\rm P}\) として、\(\overset{\frown}{{\rm CB}}=\overset{\frown}{{\rm BD}}\) であるとき、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADP}\)
であることを証明せよ。

Point：円周角の定理と相似

■ 円周角の定理と相似
証明を書き始める前に、見通しをたてる。
・結論を導くために、示すべき相似な２つの三角形を見つける。
・仮定や仮定から導かれる根拠となることがらを考える。
・円周角の定理より、等しい角を根拠とする。
・根拠より、相似条件を考える。
　\({\small (1)}~\)３組の辺の比がそれぞれ等しい
　\({\small (2)}~\)２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
　\({\small (3)}~\)２組の角がそれぞれ等しい

■ 証明のすすめ方
①　着目している三角形がどれとどれかを書く。
②　仮定から根拠となることがらを書く。
③　仮定から導かられる根拠を書く。
④　根拠から三角形の相似条件を書く。
⑤　三角形が相似であることを記号 \(\,\unicode{x223D}\,\) で表す。
⑥　相似な図形の性質より、結論を導く。

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