三平方の定理の逆の解法
■ 三平方の定理の逆
\(\triangle {\rm ABC}\) の３辺の長さ \(a~,~b~,~c\) について、$$~~~a^2+b^2=c^2$$が成り立つとき、
\(\triangle {\rm ABC}\) は長さ \(c\) の辺を斜辺とする直角三角形である
※ \(\angle{\rm C}=90^\circ\) の直角三角形
問題解説：三平方の定理の逆
問題解説(1)
三角形の３辺の長さが次のとき、この三角形が直角三角形であるか調べよ。$${\small (1)}~3~{\rm cm}~,~6~{\rm cm}~,~8~{\rm cm}$$
もっとも長い辺を \(c=8~{\rm cm}\)
他の辺を \(a=3~{\rm cm}~,~b=6~{\rm cm}\) とすると、$$\begin{split}&a^2+b^2\\[2pt]~~=~&3^2+6^2\\[2pt]~~=~&9+36=45\end{split}$$また、$$~~~c^2=8^2=64$$これより、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立たないので直角三角形でない
問題解説(2)
三角形の３辺の長さが次のとき、この三角形が直角三角形であるか調べよ。$${\small (2)}~6~{\rm cm}~,~8~{\rm cm}~,~10~{\rm cm}$$
もっとも長い辺を \(c=10~{\rm cm}\)
他の辺を \(a=6~{\rm cm}~,~b=8~{\rm cm}\) とすると、$$\begin{split}&a^2+b^2\\[2pt]~~=~&6^2+8^2\\[2pt]~~=~&36+64=100\end{split}$$また、$$~~~c^2=10^2=100$$これより、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つので直角三角形である
問題解説(3)
三角形の３辺の長さが次のとき、この三角形が直角三角形であるか調べよ。$${\small (3)}~5~{\rm cm}~,~5~{\rm cm}~,~5\sqrt{2}~{\rm cm}$$
もっとも長い辺を \(c=5\sqrt{2}~{\rm cm}\)
他の辺を \(a=5~{\rm cm}~,~b=5~{\rm cm}\) とすると、$$\begin{split}&a^2+b^2\\[2pt]~~=~&5^2+5^2\\[2pt]~~=~&25+25=50\end{split}$$また、$$~~~c^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2=25\times2=50$$これより、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つので直角三角形である
問題解説(4)
三角形の３辺の長さが次のとき、この三角形が直角三角形であるか調べよ。$${\small (4)}~\sqrt{13}~{\rm cm}~,~\sqrt{17}~{\rm cm}~,~\sqrt{39}~{\rm cm}$$
もっとも長い辺を \(c=\sqrt{39}~{\rm cm}\)
他の辺を \(a=\sqrt{13}~{\rm cm}~,~b=\sqrt{17}~{\rm cm}\) とすると、$$\begin{split}&a^2+b^2\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{13}\right)^2+\left(\sqrt{17}\right)^2\\[2pt]~~=~&13+17=30\end{split}$$また、$$~~~c^2=\left(\sqrt{39}\right)^2=39$$これより、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立たないので直角三角形でない
問題解説(5)
三角形の３辺の長さが次のとき、この三角形が直角三角形であるか調べよ。$${\small (5)}~\sqrt{2}~{\rm cm}~,~\sqrt{6}~{\rm cm}~,~2\sqrt{2}~{\rm cm}$$
もっとも長い辺を \(c=2\sqrt{2}~{\rm cm}\)
他の辺を \(a=\sqrt{2}~{\rm cm}~,~b=\sqrt{6}~{\rm cm}\) とすると、$$\begin{split}&a^2+b^2\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{6}\right)^2\\[2pt]~~=~&2+6=8\end{split}$$また、$$~~~c^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2=4\times2=8$$これより、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つので直角三角形である
