特別な直角三角形

Point：特別な直角三角形

正方形を対角線で分けた直角三角形は、
角度が \(45^\circ~,~45^\circ~,~90^\circ\) となり、

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正三角形を高さで分けた直角三角形は、
角度が \(30^\circ~,~60^\circ~,~90^\circ\) となり、

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)次の図で、\(x~,~y\) の値を求めよ。

①　\(45^\circ~,~45^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:1:\sqrt{2}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~5:x&=&1:1\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} 1&=&5{\, \small \times \,} 1\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~5:y&=&1:\sqrt{2}\\[2pt]~~~y{\, \small \times \,} 1&=&5{\, \small \times \,} \sqrt{2}\\[2pt]~~~y&=&5\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは
　\(x=5~{\rm cm}~,~y=5\sqrt{2}~{\rm cm}\)
となる

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②　\(30^\circ~,~60^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:2:\sqrt{3}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~3:x&=&1:2\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} 1&=&3{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~x&=&6\end{eqnarray}\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~3:y&=&1:\sqrt{3}\\[2pt]~~~y{\, \small \times \,} 1&=&3{\, \small \times \,}\sqrt{3}\\[2pt]~~~y&=&3\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは
　\(x=6~{\rm cm}~,~y=3\sqrt{3}~{\rm cm}\)
となる

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③　二等辺三角形であり、底角が \(45^\circ\) となる
よって、\(45^\circ~,~45^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:1:\sqrt{2}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~x:6&=&1:\sqrt{2}\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} \sqrt{2}&=&6{\, \small \times \,}1\\[2pt]~~~\sqrt{2}x&=&6\\[3pt]~~~\frac{\,\sqrt{2}x\,}{\,\sqrt{2}\,}&=&\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,6{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,6\sqrt{2}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x&=&3\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは
　\(x=3\sqrt{2}~{\rm cm}\)
となる

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④　\(30^\circ~,~60^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:2:\sqrt{3}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~x:6&=&2:\sqrt{3}\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} \sqrt{3}&=&6{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~\sqrt{3}x&=&12\\[3pt]~~~\frac{\,\sqrt{3}x\,}{\,\sqrt{3}\,}&=&\frac{\,12\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,12{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,12\sqrt{3}\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&4\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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また、\(x=4\sqrt{3}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~4\sqrt{3}:y&=&2:1\\[2pt]~~~y{\, \small \times \,} 2&=&4\sqrt{3} {\, \small \times \,} 1\\[2pt]~~~2y&=&4\sqrt{3}\\[3pt]~~~\frac{\,2y\,}{\,2\,}&=&\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~y&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは
　\(x=4\sqrt{3}~{\rm cm}~,~y=2\sqrt{3}~{\rm cm}\)
となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)１組の三角定規を次のように合わせる。\({\rm AC}=6~{\rm cm}\) のとき、残りの辺の長さを求めよ。

\(\triangle {\rm ABC}\) は、\(45^\circ~,~45^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:1:\sqrt{2}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}:6&=&1:\sqrt{2}\\[2pt]~~~{\rm AB}{\, \small \times \,}\sqrt{2}&=&6{\, \small \times \,}1\\[2pt]~~~\sqrt{2}{\rm AB}&=&6\\[3pt]~~~\frac{\,\sqrt{2}{\rm AB}\,}{\,\sqrt{2}\,}&=&\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~~{\rm AB}&=&\frac{\,6{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~~{\rm AB}&=&\frac{\,6\sqrt{2}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~{\rm AB}&=&3\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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また、\({\rm AB:BC}=1:1\) より、

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\(~~~{\rm BC}=3\sqrt{2}\)

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次に、\(\triangle {\rm ACD}\) は、\(30^\circ~,~60^\circ~,~90^\circ\) の直角三角形となるので、３辺の比は \(1:2:\sqrt{3}\) となる

よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}:6&=&1:\sqrt{3}\\[2pt]~~~{\rm CD}{\, \small \times \,}\sqrt{3}&=&6{\, \small \times \,}1\\[2pt]~~~\sqrt{3}{\rm CD}&=&6\\[3pt]~~~\frac{\,\sqrt{3}{\rm CD}\,}{\,\sqrt{3}\,}&=&\frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~~{\rm CD}&=&\frac{\,6{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~~{\rm CD}&=&\frac{\,6\sqrt{3}\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~{\rm CD}&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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また、\({\rm CD:AD}=1:2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{3}:{\rm AD}&=&1:2\\[2pt]~~~{\rm AD}{\, \small \times \,}1&=&2\sqrt{3}{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~{\rm AD}&=&4\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは

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　\({\rm AB}=3\sqrt{2}~{\rm cm}~,~{\rm BC}=3\sqrt{2}~{\rm cm}\)
　\({\rm CD}=2\sqrt{3}~{\rm cm}~,~{\rm AD}=4\sqrt{3}~{\rm cm}\)

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となる