図形と三平方の定理

Point：長方形の対角線

長方形の対角線の求め方は、

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① 対角線 $x~{\rm cm}$ で分けた直角三角形を考える。

② この直角三角形の三平方の定理より、対角線 $x~{\rm cm}$ を求める。

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$\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&x^2\\[2pt]~~~x&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{eqnarray}$

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Point：正三角形の面積

正三角形の面積の求め方は、

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① 正三角形を高さ $h~{\rm cm}$ で分けた直角三角形を考える。
このとき、正三角形の高さは垂線となり、底辺を二等分する。

② $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形より、高さ $h~{\rm cm}$ を求める。

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$\begin{eqnarray}~~~2:\sqrt{3}&=&a:h\\[3pt]~~~h&=&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}a\end{eqnarray}$

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③ 底辺 $a~{\rm cm}$ と高さ $h~{\rm cm}$より、正三角形の面積を求める。

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Point：二等辺三角形の面積

二等辺三角形の面積の求め方は、

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① 二等辺三角形を高さ $h~{\rm cm}$ で分けた直角三角形を考える。
このとき、二等辺三角形の高さは垂線となり、底辺を二等分する。

② この直角三角形の三平方の定理より、高さ $h~{\rm cm}$ を求める。

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$\begin{eqnarray}~~~\left(\frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2+h^2&=&b^2\\[3pt]~~~h&=&\sqrt{b^2-\frac{\,a^2\,}{\,4\,}}\end{eqnarray}$

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③ 底辺 $a~{\rm cm}$ と高さ $h~{\rm cm}$より、二等辺三角形の面積を求める。

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問題

次の問いに答えよ。

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${\small (1)}~$次の長方形の対角線の長さを求めよ。

対角線の長さを $x~{\rm cm}$ とすると、

これより、斜辺 $x~{\rm cm}$ の直角三角形となり、三平方の定理より、

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$\begin{eqnarray}~~~\left(2\sqrt{5}\right)^2+4^2&=&x^2\\[2pt]~~~20+16&=&x^2\\[2pt]~~~36&=&x^2\\[2pt]~~~x^2&=&36\end{eqnarray}$

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$x>0$ より、

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$~~~x=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$

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したがって、答えは $6~{\rm cm}$ となる

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (2)}~$１辺の長さが $6~{\rm cm}$ の正三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の面積を求めよ。

正三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の高さを $h~{\rm cm}$ とすると、垂線 ${\rm AD}$ は底辺 ${\rm BC}$ を二等分する

$\triangle {\rm ABD}$ は $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形となるので、

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$\begin{eqnarray}~~~1:\sqrt{3}&=&3:h\\[2pt]~~~1\times h&=&\sqrt{3} \times3\\[2pt]~~~h&=&3\sqrt{3}\end{eqnarray}$

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よって、正三角形の面積は底辺 $6~{\rm cm}$、高さ $3\sqrt{3}~{\rm cm}$ より、

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$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$

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したがって、答えは $9\sqrt{3}~{\rm cm}^2$ となる

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (3)}~$次の二等辺三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の面積を求めよ。

二等辺三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の高さを $h~{\rm cm}$ とすると、垂線 ${\rm AD}$ は底辺 ${\rm BC}$ を二等分する

$\triangle {\rm ABD}$ は直角三角形であり、三平方の定理より、

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$\begin{eqnarray}~~~4^2+h^2&=&5^2\\[2pt]~~~16+h^2&=&25\\[2pt]~~~h^2&=&25-16\\[2pt]~~~h^2&=&9\end{eqnarray}$

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$h>0$ より、

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$~~~h=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$

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よって、二等辺三角形の面積は底辺 $8~{\rm cm}$、高さ $3~{\rm cm}$ より、

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$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\times8\times3=12$

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したがって、答えは $12~{\rm cm}^2$ となる