今回の問題は「角錐や円錐と三平方の定理」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.208~209 問3
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.200 問14~15
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.196 問10~11
問題
\({\small (1)}~\)次の正四角錐の高さと体積を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の正四角錐の高さと体積を求めよ。
\({\small (2)}~\)次の円錐の高さと体積を求めよ。
Point：角錐と三平方の定理
① 正方形 \({\rm ABCD}\) の対角線の交点を \({\rm H}\) として、三平方の定理より \({\rm AC}\) を求めて \({\rm AH}\) を求める。
② \(\triangle {\rm OAH}\) は直角三角形であるので、三平方の定理より \({\rm OH}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OH}^2+{\rm AH}^2&=&a^2\\[2pt]~~~{\rm OH}&=&\sqrt{a^2-{\rm AH}^2}\end{eqnarray}\)
③ 高さと底面積より、体積を求める。
\(\begin{split}{\rm V}={\frac{\,1\,}{\,3\,}}{\, \small \times \,}\end{split}\)(正方形 \({\rm ABCD}\) の面積)\(\begin{split}{\, \small \times \,} {\rm OH}\end{split}\)
正四角錐の母線の長さが \(a~{\rm cm}\)、底面の正方形の１辺の長さが \(b~{\rm cm}\) のとき、高さと体積は、
① 正方形 \({\rm ABCD}\) の対角線の交点を \({\rm H}\) として、三平方の定理より \({\rm AC}\) を求めて \({\rm AH}\) を求める。
\({\rm AC}=\sqrt{2}b\) より、\(\begin{split}{\rm AH}=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}b\end{split}\)
② \(\triangle {\rm OAH}\) は直角三角形であるので、三平方の定理より \({\rm OH}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OH}^2+{\rm AH}^2&=&a^2\\[2pt]~~~{\rm OH}&=&\sqrt{a^2-{\rm AH}^2}\end{eqnarray}\)
③ 高さと底面積より、体積を求める。
\(\begin{split}{\rm V}={\frac{\,1\,}{\,3\,}}{\, \small \times \,}\end{split}\)(正方形 \({\rm ABCD}\) の面積)\(\begin{split}{\, \small \times \,} {\rm OH}\end{split}\)
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Point：円錐と三平方の定理
① 断面の \(\triangle {\rm ABO}\) は直角三角形であるので、三平方の定理より高さ \({\rm AO}\) を求める。
② 高さと底面積より、体積を求める。
\(\begin{split}{\rm V}={\frac{\,1\,}{\,3\,}}{\, \small \times \,}\end{split}\)(円の面積)\(\begin{split}{\, \small \times \,} {\rm AO}\end{split}\)
円錐の母線の長さが \(a~{\rm cm}\)、底面の円の半径が \(r~{\rm cm}\) のとき、高さと体積は、
① 断面の \(\triangle {\rm ABO}\) は直角三角形であるので、三平方の定理より高さ \({\rm AO}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AO}^2+r^2&=&a^2\\[2pt]~~~{\rm AO}&=&\sqrt{a^2-r^2}\end{eqnarray}\)
② 高さと底面積より、体積を求める。
\(\begin{split}{\rm V}={\frac{\,1\,}{\,3\,}}{\, \small \times \,}\end{split}\)(円の面積)\(\begin{split}{\, \small \times \,} {\rm AO}\end{split}\)
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