今回の問題は「根号を含む式の乗法・除法と答え方」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.57~58 問7~8
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.56 問8~9
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.54 問6,8
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{24}{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{27}\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{15}{\, \small \times \,}\sqrt{20}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{21}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{40}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~-\sqrt{28}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{24}{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{27}\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{15}{\, \small \times \,}\sqrt{20}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{21}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{40}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~-\sqrt{28}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\end{split}\)
Point：根号を含む式の乗法
① ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2{\, \small \times \,}10}=5\sqrt{2}{\, \small \times \,}2\sqrt{10}\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士をそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&5{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}10}=10\sqrt{20}\end{split}\)
③ さらにルートの中を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&10\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}=10{\, \small \times \,}2\sqrt{5}=20\sqrt{5}\end{split}\)
■ 根号の中の掛け算
① ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{50{\, \small \times \,}40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}2^3{\, \small \times \,}5}\end{split}\)
② ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}5}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sqrt{5}=20\sqrt{5}
\end{split}\)
■ 交換法則を使った解き方
① ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2{\, \small \times \,}10}=5\sqrt{2}{\, \small \times \,}2\sqrt{10}\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士をそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&5{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}10}=10\sqrt{20}\end{split}\)
③ さらにルートの中を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&10\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}=10{\, \small \times \,}2\sqrt{5}=20\sqrt{5}\end{split}\)
■ 根号の中の掛け算
① ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{50{\, \small \times \,}40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}2^3{\, \small \times \,}5}\end{split}\)
② ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}5}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sqrt{5}=20\sqrt{5}
\end{split}\)
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Point：根号を含む式の除法
① ルートの中の数を簡単にして、割り算を分数で表す。
\(\begin{split}&\sqrt{45}{\, \small \div \,}\sqrt{10}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}
\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士で約分をする。
\(\begin{split}\require{cancel} ~~=~\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}=\frac{\,3\sqrt{\cancel{5}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{10}^{2}}\,}=\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
③ 分母に平方根をふくむときは、分母の有理化をする。
\(\begin{split}~~=~\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
根号を含む式の除法の計算は、
① ルートの中の数を簡単にして、割り算を分数で表す。
\(\begin{split}&\sqrt{45}{\, \small \div \,}\sqrt{10}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}
\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士で約分をする。
\(\begin{split}\require{cancel} ~~=~\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}=\frac{\,3\sqrt{\cancel{5}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{10}^{2}}\,}=\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
③ 分母に平方根をふくむときは、分母の有理化をする。
\(\begin{split}~~=~\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
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