平方根と自然数

今回の問題は「平方根と自然数」です。

$~$ 数研出版これからの数学３ p.70 4,5
$~$ 東京書籍新しい数学３ p.66 5 / p.67 3
$~$ 啓林館未来へひろがる数学３ p.64 7

問題

次の問いに答えよ。

${\small (1)}~$ 次の値が整数となるような自然数

$a$ のうち、もっとも小さな値を求めよ。また、そのときの整数を求めよ。

　①　

$\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}$ 　　　②　

$\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}$

${\small (2)}~$ 次の値が整数となるような

$a$ の値をすべて求めよ。

　①　

$\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}$ 　　②　

$\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}$

Point：平方根と自然数

■ $\sqrt{18a}$ が整数となる最小の自然数 $a$ は？

① ルートの中の数を素因数分解し、簡単にする。

$\begin{split}~~~~~\sqrt{18a}=\sqrt{3^2\times2\times a}=3\sqrt{2a}\end{split}$

② ルートの中が２乗の形になるような $a$ で最小のものを考える。

　 $\sqrt{2a}$ でルートの中が２乗の形になるのは、
　 $a=2$ で、 $\sqrt{2^2}=2$ となる。

　※ $a=8$ でも $\sqrt{2\times8}=\sqrt{4^2}$ となるが
　　最小ではない。

■ $\sqrt{10-a}$ が整数となる自然数 $a$ は？

① ルートの中の数は正で、２乗の形になるような値を調べる。

$\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\end{split}$

② ルートの中の数がそれぞれの値になるような $a$ の値を求める。

$\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}$ より、

$\begin{split}10-a=1~\Leftrightarrow~a=9\end{split}$
　

$\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}$ より、

$\begin{split}10-a=4~\Leftrightarrow~a=6\end{split}$
　

$\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}$ より、

$\begin{split}10-a=9~\Leftrightarrow~a=1\end{split}$

　よって、

$a=1~,~6~,~9$ となる。

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