円の接線の長さと作図

今回の問題は「円の接線の長さと作図」です。

\(~\)数研出版これからの数学３ p.180 問1~2
\(~\)東京書籍新しい数学３ p.179 問1
\(~\)啓林館未来へひろがる数学３ p.172~173 問1~4

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (1)}~\)円 \({\rm O}\) に外部の点 \({\rm P}\) からひいた２本の接線との接点を \({\rm A~,~B}\) とするとき、\({\rm PA=PB}\) となることを証明せよ。

\({\small (2)}~\)次の図の点 \({\rm P}\) を通る円 \({\rm O}\) の接線を作図せよ。

\({\small (3)}~\)次の図で、\(x\) の長さのと \(y\) の大きさを求めよ。

Point：円の接線の長さ

■ 円の接線

【定理１】円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

　→ \(\angle{\rm OAP}=90^\circ\)

【定理２】円の外部の点からひいた２本の接線の長さは等しい。

　→ \({\rm PA=PB}\)

Point：円の接線の作図

円 \({\rm O}\) に外部の点 \({\rm P}\) から引いた２本の接線の作図の方法は、

① 線分 \({\rm PO}\) の垂直二等分線をひき、線分 \({\rm PO}\) との交点を \({\rm M}\) とする。
② 点 \({\rm M}\) を中心に半径 \({\rm MP(MO)}\) の円をかき、円 \({\rm O}\) との交点を \({\rm A~,~B}\) とする。
③ 直線 \({\rm PA~,~PB}\) が、点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}\) にひいた接線となる。

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