逆数と分数の除法の解法
Point：逆数
→ 符号はそのまま、分母分子を入れかえ
\(\begin{split}{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) の逆数は \(\begin{split}{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) 、 \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,6\,}}\end{split}\) の逆数は \(\begin{split}6\end{split}\)
※ 整数の逆数は、
\(\begin{split}5=\frac{\,5\,}{\,1\,}\end{split}\) と考えて、逆数は \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,5\,}}\end{split}\)
積が \(1\) となる２つの数を、一方を他方の「逆数」
→ 符号はそのまま、分母分子を入れかえ
\(\begin{split}{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) の逆数は \(\begin{split}{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) 、 \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,6\,}}\end{split}\) の逆数は \(\begin{split}6\end{split}\)
※ 整数の逆数は、
\(\begin{split}5=\frac{\,5\,}{\,1\,}\end{split}\) と考えて、逆数は \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,5\,}}\end{split}\)
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Point：分数をふくむ除法
たとえば、\(\begin{split}5{\, \small \div \,}\left(-\frac{\,5\,}{\,8\,}\right)\end{split}\)
① 割り算を逆数の掛け算にする。
\(\begin{split}~~=~&5\times\left(-\frac{\,8\,}{\,5\,}\right)\end{split}\)
② 分数の乗法として計算する。
\(\begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,5\,}{\,1\,}\times\frac{\,8\,}{\,5\,}\right)\\[3pt]~~=~&-8\end{split}\)
ある数で割り算することは、その数の逆数を掛け算することと同じである。
たとえば、\(\begin{split}5{\, \small \div \,}\left(-\frac{\,5\,}{\,8\,}\right)\end{split}\)
① 割り算を逆数の掛け算にする。
\(\begin{split}~~=~&5\times\left(-\frac{\,8\,}{\,5\,}\right)\end{split}\)
② 分数の乗法として計算する。
\(\begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,5\,}{\,1\,}\times\frac{\,8\,}{\,5\,}\right)\\[3pt]~~=~&-8\end{split}\)
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問題解説：逆数と分数の除法
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の数の逆数を答えよ。
① \(\begin{split}\frac{\,2\,}{\,3\,}\end{split}\)
② \(\begin{split}-\frac{\,4\,}{\,5\,}\end{split}\)
③ \(\begin{split}-\frac{\,1\,}{\,7\,}\end{split}\)
④ \(\begin{split}9\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}-3\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の数の逆数を答えよ。
① \(\begin{split}\frac{\,2\,}{\,3\,}\end{split}\)
② \(\begin{split}-\frac{\,4\,}{\,5\,}\end{split}\)
③ \(\begin{split}-\frac{\,1\,}{\,7\,}\end{split}\)
④ \(\begin{split}9\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}-3\end{split}\)
① \(\begin{split}\frac{\,2\,}{\,3\,}\end{split}\)
符号はそのままで、分母分子を入れかえる
よって、答えは \(\begin{split}\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{split}\) となる
② \(\begin{split}-\frac{\,4\,}{\,5\,}\end{split}\)
符号はそのままで、分母分子を入れかえる
よって、答えは \(\begin{split}-\frac{\,5\,}{\,4\,}\end{split}\) となる
③ \(\begin{split}-\frac{\,1\,}{\,7\,}\end{split}\)
符号はそのままで、分母分子を入れかえる
\(\begin{split}-\frac{\,7\,}{\,1\,}=-7\end{split}\)
よって、答えは \(-7\) となる
④ \(\begin{split}9\end{split}\)
\(9\) を分数で表すと、
\(\begin{split}9=\frac{\,9\,}{\,1\,}\end{split}\)
符号はそのままで、分母分子を入れかえる
よって、答えは \(\begin{split}\frac{\,1\,}{\,9\,}\end{split}\) となる
⑤ \(\begin{split}-3\end{split}\)
\(-3\) を分数で表すと、
\(\begin{split}-3=-\frac{\,3\,}{\,1\,}\end{split}\)
符号はそのままで、分母分子を入れかえる
よって、答えは \(\begin{split}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。
① \(\begin{split}\frac{\,3\,}{\,5\,}\div\left(-\frac{\,6\,}{\,7\,}\right)\end{split}\)
② \(\begin{split}\left(-\frac{\,5\,}{\,9\,}\right)\div\left(-\frac{\,10\,}{\,21\,}\right)\end{split}\)
③ \(\begin{split}\left(-\frac{\,2\,}{\,9\,}\right)\div\frac{\,14\,}{\,15\,}\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。
① \(\begin{split}\frac{\,3\,}{\,5\,}\div\left(-\frac{\,6\,}{\,7\,}\right)\end{split}\)
② \(\begin{split}\left(-\frac{\,5\,}{\,9\,}\right)\div\left(-\frac{\,10\,}{\,21\,}\right)\end{split}\)
③ \(\begin{split}\left(-\frac{\,2\,}{\,9\,}\right)\div\frac{\,14\,}{\,15\,}\end{split}\)
① 割り算を逆数の掛け算にすると、
\(\begin{split}&\frac{\,3\,}{\,5\,}\div\left(-\frac{\,6\,}{\,7\,}\right)\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\,}{\,5\,}\times\left(-\frac{\,7\,}{\,6\,}\right)\end{split}\)
異なる符号の積なので、
負の符号で、絶対値の積より、
\(\begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,3\,}{\,5\,}\times\frac{\,7\,}{\,6\,}\right)\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,\cancel{3}^{1}\,}{\,5\,}\times\frac{\,7\,}{\,\cancel{6}^{2}\,}\right)\\[3pt]~~=~&-\left(\frac{\,1\,}{\,5\,}\times\frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\\[3pt]~~=~&-\frac{\,7\,}{\,10\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}-\frac{\,7\,}{\,10\,}\end{split}\) となる
② 割り算を逆数の掛け算にすると、
\(\begin{split}&\left(-\frac{\,5\,}{\,9\,}\right)\div\left(-\frac{\,10\,}{\,21\,}\right)\\[3pt]~~=~&\left(-\frac{\,5\,}{\,9\,}\right)\times\left(-\frac{\,21\,}{\,10\,}\right)\end{split}\)
同じ符号の積なので、
正の符号で、絶対値の積より、
\(\begin{split}~~=~&+\left( \frac{\,5\,}{\,9\,}\times\frac{\,21\,}{\,10\,} \right)\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{5}^{1}\,}{\,\cancel{9}^{3}\,}\times\frac{\,\cancel{21}^{7}\,}{\,\cancel{10}^{2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,3\,}\times\frac{\,7\,}{\,2\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,7\,}{\,6\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}\frac{\,7\,}{\,6\,}\end{split}\) となる
③ 割り算を逆数の掛け算にすると、
\(\begin{split}&\left(-\frac{\,2\,}{\,9\,}\right)\div\frac{\,14\,}{\,15\,}\\[3pt]~~=~&\left(-\frac{\,2\,}{\,9\,}\right)\times\frac{\,15\,}{\,14\,}\end{split}\)
異なる符号の積なので、
負の符号で、絶対値の積より、
\(\begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,2\,}{\,9\,}\times\frac{\,15\,}{\,14\,}\right)\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&-\left(\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{9}^{3}\,}\times\frac{\,\cancel{15}^{5}\,}{\,\cancel{14}^{7}\,}\right)\\[3pt]~~=~&-\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}\times\frac{\,5\,}{\,7\,}\right)\\[3pt]~~=~&-\frac{\,5\,}{\,21\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}-\frac{\,5\,}{\,21\,}\end{split}\) となる
【問題一覧】中１｜正の数と負の数
このページは「中学数学１ 正の数と負の数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
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