素数と素因数分解

Point：素数

その自然数より小さい自然数の積の形で表すことができない自然数を「素数」という。
※ 素数は $1$ とその数自身の２つしか約数がない自然数であるので、$1$ は素数にふくめない。

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よって、$30$ 以下の素数は、

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Point：素因数分解

ある自然数の約数の中で素数であるものを「素因数」といい、自然数を素因数だけの積の形で表すことを「素因数分解する」という。

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たとえば、$12$ を素因数分解すると、
　$12$ を素数で割っていき、

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　　$\begin{split}~~~2~&)\underline{~12~}\\[2pt]2~&)\underline{~~6~}\\[2pt]&~~~~3\end{split}$

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　これより、$12=2{\, \small {\, \small \times \,} \,}2{\, \small {\, \small \times \,} \,}3=2^2{\, \small {\, \small \times \,} \,}3$

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※ 同じ数の積は累乗の指数を使って表す。

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問題

次の問いに答えよ。

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${\small (1)}~30$ 以下の素数をすべて答えよ。

素数は、$1$ とその数自身の２つしか約数がない自然数であるので、
　$1$ は素数にふくめない
　$2$ は $1$ と $2$ しか約数をもたないので素数である

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また、$2$ 以外の偶数は $1$ とその数自身と $2$ を約数にもつことになり、素数ではない

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よって、$3$ 以上の奇数を考えていくと、
　$3$ は $1$ と $3$ しか約数をもたないので素数である
　$5$ は $1$ と $5$ しか約数をもたないので素数である
　$7$ は $1$ と $7$ しか約数をもたないので素数である
　$9$ は $1~,~3~,~9$ を約数にもつので素数でない
　$11$ は $1$ と $11$ しか約数をもたないので素数である
　$13$ は $1$ と $13$ しか約数をもたないので素数である
　$15$ は $1~,~3~,~5~,~15$ を約数にもつので素数でない
　$17$ は $1$ と $17$ しか約数をもたないので素数である
　$19$ は $1$ と $19$ しか約数をもたないので素数である
　$21$ は $1~,~3~,~7~,~21$ を約数にもつので素数でない
　$23$ は $1$ と $23$ しか約数をもたないので素数である
　$25$ は $1~,~5~,~25$ を約数にもつので素数でない
　$27$ は $1~,~3~,~9~,~27$ を約数にもつので素数でない
　$29$ は $1$ と $29$ しか約数をもたないので素数である

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したがって、素数は、

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　$2~,~3~,~5~,~7~,~11~,~13~,~17~,~19~,~23~,~29$

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である

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (2)}~$次の数を素因数分解せよ
　①　$24$　　②　$45$　　③　$126$

①　$24$
$24$ を素数で順番に割っていくと、

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　　$\begin{split}~~~2~&)\underline{~24~}\\[2pt]2~&)\underline{~12~}\\[2pt]2~&)\underline{~~~6~}\\[2pt]&~~~~~3\end{split}$

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よって、

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$\begin{split}&24\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3\end{split}$

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累乗の指数を使って表すと、

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$\begin{split}~~=~&2^3{\, \small \times \,}3\end{split}$

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したがって、答えは $2^3{\, \small \times \,}3$ となる

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②　$45$
$45$ を素数で順番に割っていくと、

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　　$\begin{split}~~~3~&)\underline{~45~}\\[2pt]3~&)\underline{~15~}\\[2pt]&~~~~5\end{split}$

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よって、

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$\begin{split}&45\\[2pt]~~=~&3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5\end{split}$

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累乗の指数を使って表すと、

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$\begin{split}~~=~&3^2{\, \small \times \,}5\end{split}$

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したがって、答えは $3^2{\, \small \times \,}5$ となる

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③　$126$
$126$ を素数で順番に割っていくと、

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　　$\begin{split}~~~2~&)\underline{~126~}\\[2pt]3~&)\underline{~~~63~}\\[2pt]3~&)\underline{~~~21~}\\[2pt]&~~~~~~7\end{split}$

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よって、

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$\begin{split}&126\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}7\end{split}$

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累乗の指数を使って表すと、

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$\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}7\end{split}$

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したがって、答えは $2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}7$ となる