方程式とその解

方程式とその解の解法

Point：方程式とその解

■ 方程式とその解

\(x\) の値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式を「方程式」という。
方程式を成り立たせる文字の値を「方程式の解」
この解を求めることを「方程式を解く」という。

たとえば、等式 \(x-2=4\) は、
　\(x=6\) のときに成り立つので \(6\) は解である
　\(x=1\) のときは成り立たないので解ではない

■ 方程式の解であるか調べる

方程式 \(2x=x+5\) の解が \(x=5\) であるかは、

① 方程式の左辺と右辺それぞれに、解を代入した値を求める。

　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}5=10\)
　(右辺)\(=5+5=10\)

② 左辺と右辺の値が等しいとき、その値が方程式の解となる。

　(左辺)\(=10\)、(右辺)\(=10\)
これより、
　\(x=5\) は方程式 \(2x=x+5\) の解である

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問題

次の問いに答えよ。

\({\small (1)}~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\) のうち、次の方程式の解となるものを求めよ。

　①　\(2x-1=3\)
　②　\(3x=x-2\)

①　\(2x-1=3\)

\(x=-2\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}(-2)-1=-4-1=-5\)
　(右辺)\(=3\)

\(x=-1\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}(-1)-1=-2-1=-3\)
　(右辺)\(=3\)

\(x=0\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}0-1=0-1=-1\)
　(右辺)\(=3\)

\(x=1\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}1-1=2-1=1\)
　(右辺)\(=3\)

\(x=2\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}2-1=4-1=3\)
　(右辺)\(=3\)

これより、
\(x=2\) のとき左辺と右辺が等しくなるので、
　\(x=2\) が方程式 \(2x-1=3\) の解である

②　\(3x=x-2\)

\(x=-2\) を代入すると、
　(左辺)\(=3{\, \small \times \,}(-2)=-6\)
　(右辺)\(=-2-2=-4\)

\(x=-1\) を代入すると、
　(左辺)\(=3{\, \small \times \,}(-1)=-3\)
　(右辺)\(=-1-2=-3\)

\(x=0\) を代入すると、
　(左辺)\(=3{\, \small \times \,}0=0\)
　(右辺)\(=0-2=-2\)

\(x=1\) を代入すると、
　(左辺)\(=3{\, \small \times \,}1=3\)
　(右辺)\(=1-2=-1\)

\(x=2\) を代入すると、
　(左辺)\(=3{\, \small \times \,}2=6\)
　(右辺)\(=2-2=0\)

これより、
\(x=-1\) のとき左辺と右辺が等しくなるので、
　\(x=-1\) が方程式 \(3x=x-2\) の解である

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (2)}~\)次の方程式のうち、\(3\) が解であるものをすべて選べ。

　①　\(x+3=4\)
　②　\(2x-1=x+2\)
　③　\(3(x-1)=x-5\)

①　\(x+3=4\)

\(x=3\) を代入すると、
　(左辺)\(=3+2=6\)
　(右辺)\(=4\)

②　\(2x-1=x+2\)

\(x=3\) を代入すると、
　(左辺)\(=2{\, \small \times \,}3-1=6-1=5\)
　(右辺)\(=3+2=5\)

③　\(3(x-1)=x-5\)

\(x=3\) を代入すると、
　(左辺)\(=3(3-1)=3{\, \small \times \,}2=6\)
　(右辺)\(=3-5=-2\)

これより、
左辺と右辺が等しくなるのは②の方程式である
したがって、\(3\) が解であるのは、
　②　\(2x-1=x+2\)
である