方程式とその解

Point：方程式とその解

■ 方程式とその解

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$x$ の値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式を「方程式」という。
方程式を成り立たせる文字の値を「方程式の解」
この解を求めることを「方程式を解く」という。

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たとえば、等式 $x-2=4$ は、
　$x=6$ のときに成り立つので $6$ は解である
　$x=1$ のときは成り立たないので解ではない

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■ 方程式の解であるか調べる

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方程式 $2x=x+5$ の解が $x=5$ であるかは、

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① 方程式の左辺と右辺それぞれに、解を代入した値を求める。

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　(左辺)$=2{\, \small \times \,}5=10$
　(右辺)$=5+5=10$

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② 左辺と右辺の値が等しいとき、その値が方程式の解となる。

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　(左辺)$=10$、(右辺)$=10$
これより、
　$x=5$ は方程式 $2x=x+5$ の解である

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問題

次の問いに答えよ。

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${\small (1)}~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2$ のうち、次の方程式の解となるものを求めよ。

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　①　$2x-1=3$
　②　$3x=x-2$

①　$2x-1=3$

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$x=-2$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}(-2)-1=-4-1=-5$
　(右辺)$=3$

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$x=-1$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}(-1)-1=-2-1=-3$
　(右辺)$=3$

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$x=0$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}0-1=0-1=-1$
　(右辺)$=3$

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$x=1$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}1-1=2-1=1$
　(右辺)$=3$

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$x=2$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}2-1=4-1=3$
　(右辺)$=3$

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これより、
$x=2$ のとき左辺と右辺が等しくなるので、
　$x=2$ が方程式 $2x-1=3$ の解である

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②　$3x=x-2$

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$x=-2$ を代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}(-2)=-6$
　(右辺)$=-2-2=-4$

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$x=-1$ を代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}(-1)=-3$
　(右辺)$=-1-2=-3$

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$x=0$ を代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}0=0$
　(右辺)$=0-2=-2$

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$x=1$ を代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}1=3$
　(右辺)$=1-2=-1$

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$x=2$ を代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}2=6$
　(右辺)$=2-2=0$

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これより、
$x=-1$ のとき左辺と右辺が等しくなるので、
　$x=-1$ が方程式 $3x=x-2$ の解である

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (2)}~$次の方程式のうち、$3$ が解であるものをすべて選べ。

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　①　$x+3=4$
　②　$2x-1=x+2$
　③　$3(x-1)=x-5$

①　$x+3=4$

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$x=3$ を代入すると、
　(左辺)$=3+2=6$
　(右辺)$=4$

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②　$2x-1=x+2$

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$x=3$ を代入すると、
　(左辺)$=2{\, \small \times \,}3-1=6-1=5$
　(右辺)$=3+2=5$

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③　$3(x-1)=x-5$

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$x=3$ を代入すると、
　(左辺)$=3(3-1)=3{\, \small \times \,}2=6$
　(右辺)$=3-5=-2$

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これより、
左辺と右辺が等しくなるのは②の方程式である
したがって、$3$ が解であるのは、
　②　$2x-1=x+2$
である