１次方程式と速さ

Point：１次方程式と速さ

速さについての文章問題は、

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① 道のりと速さと時間を表にまとめる。

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Ａさんが出発した \(10\) 分後にＢさんが出発して、\(x\) 分後に追いつくとすると、

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　Ａさんは、\(10+x\) 分進んでおり、
　Ｂさんは、\(x\) 分進んでいる。

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② 追いつく＝道のりか等しいことより、１次方程式を立てる。

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③ 立てた１次方程式を解く。

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④ 解が問題に適しているか確かめる。

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問題

Ａさんが家から \(1200~{\rm m}\) 離れた駅まで分速 \(60~{\rm m}\) で進んだ。その後、Ａさんが出発して \(10\) 分後にＢさんが分速 \(180~{\rm m}\) で追いかけた。

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\({\small (1)}~\)Ｂさんは出発して何分後に、家から何 \({\rm m}\) のところで追いつくか答えよ。

Ｂさんが出発して \(x\) 分後にＡさんに追いつくとすると、Ａさんは \(10\) 分前から出発しているので、\(10+x\) 分進んだことになる。

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よって、道のりと速さと時間を表にまとめると、

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道のり＝速さ×時間より、
　Ａさんの進んだ道のりは、

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　\(\begin{split}~~~60{\, \small \times \,}(10+x)=60(x+10)\end{split}\)

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　Ｂさんの進んだ道のりは、

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　\(\begin{split}~~~180{\, \small \times \,} x=180x\end{split}\)

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追いつく＝道のりが等しくなることより、１次方程式を立てると、

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\(\begin{eqnarray}~~~60(x+10)&=&180x\\[2pt]~~~60{\, \small \times \,} x+60{\, \small \times \,}10&=&180x\\[2pt]~~~60x+600&=&180x\end{eqnarray}\)

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\(600\) と \(180x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~60x-180x&=&-600\\[2pt]~~~(60-180)x&=&-600\\[2pt]~~~-120x&=&-600\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(-120\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-120x\,}{\,-120\,}&=&\frac{\,-600\,}{\,-120\,}\\[2pt]\hspace{23pt}~~~\frac{\,\cancel{-120}^{1}x\,}{\,\cancel{-120}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-600}^{5}\,}{\,\cancel{-120}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)

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また、道のりは \(180x~{\rm m}\) より、\(x=5\) を代入すると、(※ \(60(x+10)~{\rm m}\) に代入してもよい。)

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\(~~~180{\, \small \times \,}5=900~{\rm m}\)

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これは問題に適している

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したがって、
Ｂさんが出発して \(5\) 分後に、家から \(900~{\rm m}\) のところ
となる

問題

Ａさんが家から \(1200~{\rm m}\) 離れた駅まで分速 \(60~{\rm m}\) で進んだ。その後、Ａさんが出発して \(10\) 分後にＢさんが分速 \(180~{\rm m}\) で追いかけた。

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\({\small (2)}~\)Ａさんが出発して \(20\) 分後にＢさんが分速 \(180~{\rm m}\) で追いかけたとき、どうなるか答えよ。

Ｂさんが出発して \(x\) 分後にＡさんに追いつくとすると、Ａさんは \(20\) 分前から出発しているので、\(20+x\) 分進んだことになる
よって、道のりと速さと時間を表にまとめると、

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道のり＝速さ×時間より、
　Ａさんの進んだ道のりは、

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　\(\begin{split}~~~60{\, \small \times \,}(20+x)=60(x+20)\end{split}\)

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　Ｂさんの進んだ道のりは、

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　\(\begin{split}~~~180{\, \small \times \,} x=180x\end{split}\)

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追いつく＝道のりが等しくなることより、１次方程式を立てると、

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\(\begin{eqnarray}~~~60(x+20)&=&180x\\[2pt]~~~60{\, \small \times \,} x+60{\, \small \times \,}20&=&180x\\[2pt]~~~60x+1200&=&180x\end{eqnarray}\)

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\(1200\) と \(180x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~60x-180x&=&-1200\\[2pt]~~~(60-180)x&=&-1200\\[2pt]~~~-120x&=&-1200\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(-120\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-120x\,}{\,-120\,}&=&\frac{\,-1200\,}{\,-120\,}\\[2pt]\hspace{23pt}~~~\frac{\,\cancel{-120}^{1}x\,}{\,\cancel{-120}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-1200}^{10}\,}{\,\cancel{-120}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)

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また、道のりは \(180x~{\rm m}\) より、\(x=10\) を代入すると、(※ \(60(x+20)~{\rm m}\) に代入してもよい。)

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\(~~~180{\, \small \times \,}5=1800~{\rm m}\)

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家から駅まで \(1200~{\rm m}\) しかないので、これは問題に適さない

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したがって、
Ｂさんが追いつく前に、Ａさんか駅につく
となる