１次方程式と整数・割合の解法
Point：１次方程式と整数
① 求める数を \(x\) とする。
※ 計算しにくい場合は別の数を \(x\) とする。
② 等しい２つの数をそれぞれ文字で表して、イコールでむすび１次方程式を立てる。
ある数 \(x\) から \(10\) をひいて \(3\) をかけた数は、
\((x-10){\, \small \times \,}3\)
また、もとの数は \(x\) であるので、
１次方程式を立てると、
\(\begin{split}~~~(x-10){\, \small \times \,}3=x\end{split}\)
③ 立てた１次方程式を解く。
④ 解が問題に適しているか確かめる。
ある数から \(10\) をひいて \(3\) をかけた数はもとの数と等しいとき、
① 求める数を \(x\) とする。
※ 計算しにくい場合は別の数を \(x\) とする。
② 等しい２つの数をそれぞれ文字で表して、イコールでむすび１次方程式を立てる。
ある数 \(x\) から \(10\) をひいて \(3\) をかけた数は、
\((x-10){\, \small \times \,}3\)
また、もとの数は \(x\) であるので、
１次方程式を立てると、
\(\begin{split}~~~(x-10){\, \small \times \,}3=x\end{split}\)
③ 立てた１次方程式を解く。
④ 解が問題に適しているか確かめる。
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Point：１次方程式と割合
① 求める数を \(x\) とする。
※ 計算しにくい場合は別の数を \(x\) とする。
② 等しい２つの数をそれぞれ文字で表して、イコールでむすび１次方程式を立てる。
女子の人数を \(x\) 人とすると、
男子の人数は \(100-x\) 人となる。
また、男子の人数は女子の人数の \(60\) %より
\(4\) 人少ないので、\(\begin{split} \frac{\,60\,}{\,100\,}x-4\end{split}\) 人となる。
これより、１次方程式を立てると、
\(\begin{split}~~~100-x=\frac{\,60\,}{\,100\,}x-4\end{split}\)
③ 立てた１次方程式を解く。
④ 解が問題に適しているか確かめる。
\(100\) 人中、男子の人数が女子の人数の \(60\) %より \(4\) 人少ないとき、
① 求める数を \(x\) とする。
※ 計算しにくい場合は別の数を \(x\) とする。
② 等しい２つの数をそれぞれ文字で表して、イコールでむすび１次方程式を立てる。
女子の人数を \(x\) 人とすると、
男子の人数は \(100-x\) 人となる。
また、男子の人数は女子の人数の \(60\) %より
\(4\) 人少ないので、\(\begin{split} \frac{\,60\,}{\,100\,}x-4\end{split}\) 人となる。
これより、１次方程式を立てると、
\(\begin{split}~~~100-x=\frac{\,60\,}{\,100\,}x-4\end{split}\)
③ 立てた１次方程式を解く。
④ 解が問題に適しているか確かめる。
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問題解説：１次方程式と整数・割合
問題解説(1)
問題
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)ある数に \(3\) を加えて \(2\) 倍した数は、もとの数を \(5\) 倍して \(6\) をひいた数と等しくなる。このとき、もとの数を求めよ。
ある数(もとの数)を \(x\) とすると、
\(3\) を加えて \(2\) 倍した数は、
\(\begin{split}~~~(x+3){\, \small \times \,} 2=2(x+3)\end{split}\)
※ 先に \(3\) 加えて、全体を \(2\) 倍する。
\(5\) 倍して \(6\) をひいた数は、
\(\begin{split}~~~x{\, \small \times \,} 5-6=5x-6\end{split}\)
※ 先に \(5\) 倍して、\(6\) をひく。
これらが等しいので、１次方程式を立てると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(x+3)&=&5x-6\\[2pt]~~~2{\, \small \times \,} x+2{\, \small \times \,}3&=&5x-6\\[2pt]~~~2x+6&=&5x-6\end{eqnarray}\)
\(6\) と \(5x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2x-5x&=&-6-6\\[2pt]~~~(2-5)x&=&-12\\[2pt]~~~-3x&=&-12\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-3\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-3x\,}{\,-3\,}&=&\frac{\,-12\,}{\,-3\,}\\[2pt]\hspace{18pt}~~~\frac{\,\cancel{-3}^{1}x\,}{\,\cancel{-3}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-12}^{4}\,}{\,\cancel{-3}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
これは問題に適している
したがって、答えは \(4\) となる
問題解説(2)
問題
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)現在Ａさんは \(12\) 歳で、Ｂさんは \(46\) 歳である。Ｂさんの年齢がＡさんの年齢の \(3\) 倍となるのは現在から何年後か求めよ。
\(x\) 年後を考えると、それぞれの年齢は、
Ａさんは \(12+x\) 歳
Ｂさんは \(46+x\) 歳
Ｂさんの年齢がＡさんの年齢の \(3\) 倍となるので、１次方程式を立てると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{2pt}~~~(46+x)&=&(12+x){\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~46+x&=&12{\, \small \times \,}3+x{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~46+x&=&36+3x\end{eqnarray}\)
\(46\) と \(3x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3x&=&36-46\\[2pt]~~~(1-3)x&=&-10\\[2pt]\hspace{2pt}~~~-2x&=&-10\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-2\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,-10\,}{\,-2\,}\\[2pt]~~~\frac{\,\cancel{-2}^{1}x\,}{\,\cancel{-2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-10}^{5}\,}{\,\cancel{-2}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
これは問題に適している
したがって、答えは \(5\) 年後となる
問題解説(3)
問題
次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)全校生徒 \(240\) 人の中学校で部活をしている生徒の数は、部活をしていない生徒の数の \(80\) ％より \(6\) 人多い。このとき、部活をしている生徒の数を求めよ。
この問題では、部活をしている生徒の数を \(x\) 人とすると、計算しにくい１次方程式となるので、部活をしていない生徒の数を \(x\) 人とする。
部活をしていない生徒の数を \(x\) 人とすると、
部活をしている生徒の数は \(240-x\) 人
また、部活をしていない生徒の数の \(80\) ％より \(6\) 人多いことより、
\(\begin{split}~~~x{\, \small \times \,}\frac{\,80\,}{\,100\,}+6=\frac{\,4\,}{\,5\,}x+6\end{split}\)
これより、１次方程式を立てると、
\(\begin{split}\hspace{30pt}~~~240-x=\frac{\,4\,}{\,5\,}x+6\end{split}\)
両辺に \(5\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~(240-x){\, \small \times \,}5&=&\left(\frac{\,4\,}{\,5\,}x+6\right){\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~240{\, \small \times \,}5-x{\, \small \times \,}5&=&\frac{\,4\,}{\,5\,}x{\, \small \times \,}5+6{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~1200-5x&=&4x+30\end{eqnarray}\)
\(1200\) と \(4x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{18pt}~~~-5x-4x&=&30-1200\\[2pt]~~~(-5-4)x&=&-1170\\[2pt]~~~-9x&=&-1170\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-9\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-9x\,}{\,-9\,}&=&\frac{\,-1170\,}{\,-9\,}\\[2pt]\hspace{26pt}~~~\frac{\,\cancel{-9}^{1}x\,}{\,\cancel{-9}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-1170}^{130}\,}{\,\cancel{-9}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&130\end{eqnarray}\)
部活をしている生徒の数は \(240-x\) 人より、
\(\begin{split}~~~240-130=110\end{split}\)
これは問題に適している
したがって、答えは \(110\) 人となる
【問題一覧】中１｜１次方程式
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