反比例の関係の解法
Point：反比例の関係
\(\begin{split}y=\frac{\,a\,}{\,x\,}\end{split}\)
たとえば、縦の長さ \(x~{\rm cm}\)、横の長さ \(y~{\rm cm}\) の長方形の面積が \(6~{\rm cm}^2\) のとき、
\(y\) を \(x\) で表すと、\(\begin{split}y=\frac{\,6\,}{\,x\,}\end{split}\)
\(y\) は \(x\) に反比例して、比例定数は \(6\)
\(y\) は \(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\end{split}\) 倍、\(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) 倍、\(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,6\,}}\end{split}\) 倍、\(\cdots\) となる
また、対応する \(x\) と \(y\) の積 \(xy\) は比例定数 \(a=6\) と等しくなる。
※ 分数の分母は \(0\) にならないので、\(x=0\) のときは考えない。
\(y\) が \(x\) の関数で、\(x\) と \(y\) の関係が、
\(\begin{split}y=\frac{\,a\,}{\,x\,}\end{split}\)
で表されるとき、「 \(y\) は \(x\) に反比例する」といい、\(a\) を「比例定数」という。
たとえば、縦の長さ \(x~{\rm cm}\)、横の長さ \(y~{\rm cm}\) の長方形の面積が \(6~{\rm cm}^2\) のとき、
\(y\) を \(x\) で表すと、\(\begin{split}y=\frac{\,6\,}{\,x\,}\end{split}\)
\(y\) は \(x\) に反比例して、比例定数は \(6\)
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) | \(\cdots\) |
| \(y\) | \(\cdots\) | × | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(\cdots\) |
この表より、
\(x\) が \(2\) 倍、\(3\) 倍、\(6\) 倍、\(\cdots\) となるのと、
\(y\) は \(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\end{split}\) 倍、\(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) 倍、\(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,6\,}}\end{split}\) 倍、\(\cdots\) となる
また、対応する \(x\) と \(y\) の積 \(xy\) は比例定数 \(a=6\) と等しくなる。
※ 分数の分母は \(0\) にならないので、\(x=0\) のときは考えない。
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問題解説：反比例の関係
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)縦の長さ \(x~{\rm cm}\)、横の長さ \(y~{\rm cm}\) の三角形の面積が \(6~{\rm cm}^2\) であった。\(y\) が \(x\) に反比例することを示し、比例定数を答え、表を完成させよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)縦の長さ \(x~{\rm cm}\)、横の長さ \(y~{\rm cm}\) の三角形の面積が \(6~{\rm cm}^2\) であった。\(y\) が \(x\) に反比例することを示し、比例定数を答え、表を完成させよ。
| \(x~{\rm cm}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(12\) |
| \(y~{\rm cm}\) |
縦の長さ \(x~{\rm cm}\)、横の長さ \(y~{\rm cm}\) の三角形の面積が \(6~{\rm cm}^2\) であるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{17pt}~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\times x \times y&=&6\\[3pt]~~~\frac{\,xy\,}{\,2\,}&=&6\end{eqnarray}\)
両辺に \(\begin{split}{\frac{\,2\,}{\,x\,}}\end{split}\) をかけると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,xy\,}{\,2\,}\times\frac{\,2\,}{\,x\,}&=&6\times\frac{\,2\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{x}^{1}y\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\times\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{x}^{1}\,}&=&\frac{\,6\times2\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y&=&\frac{\,12\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y\) が \(x\) に反比例して、比例定数は \(12\)
となる
また、\(x=1\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,1\,}=12\end{split}\)
\(x=2\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,2\,}=6\end{split}\)
\(x=3\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,3\,}=4\end{split}\)
\(x=4\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,4\,}=3\end{split}\)
\(x=6\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,6\,}=2\end{split}\)
\(x=12\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,12\,}=1\end{split}\)
したがって、
| \(x~{\rm cm}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(12\) |
| \(y~{\rm cm}\) | \(12\) | \(6\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)\(15~{\rm km}\) の道のりを時速 \(x~{\rm km}\) で進んだとき \(y\) 時間かかった。\(y\) が \(x\) に反比例することを示し、比例定数を答え、表を完成させよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)\(15~{\rm km}\) の道のりを時速 \(x~{\rm km}\) で進んだとき \(y\) 時間かかった。\(y\) が \(x\) に反比例することを示し、比例定数を答え、表を完成させよ。
| 時速 \(x~{\rm km}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(6\) | \(10\) | \(\cdots\) |
| \(y\) 時間 | \(\cdots\) |
\(15~{\rm km}\) の道のりを時速 \(x~{\rm km}\) で進んだとき \(y\) 時間かかるので、
時間＝道のり÷速さより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&15\div x\\[3pt]~~~y&=&\frac{\,15\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y\) が \(x\) に反比例して、比例定数は \(15\)
となる
また、\(x=1\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,1\,}=15\end{split}\)
\(x=2\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,2\,}=7.5\end{split}\)
\(x=3\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,3\,}=5\end{split}\)
\(x=5\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,5\,}=3\end{split}\)
\(x=6\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,6\,}=2.5\end{split}\)
\(x=10\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,15\,}{\,10\,}=1.5\end{split}\)
したがって、
| 時速 \(x~{\rm km}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(6\) | \(10\) | \(\cdots\) |
| \(y\) 時間 | \(15\) | \(7.5\) | \(5\) | \(3\) | \(2.5\) | \(1.5\) | \(\cdots\) |
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\)\(\begin{split}y=-{\frac{\,4\,}{\,x\,}}\end{split}\) について、比例定数を答え、表を完成させよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)\(\begin{split}y=-{\frac{\,4\,}{\,x\,}}\end{split}\) について、比例定数を答え、表を完成させよ。
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(\cdots\) |
| \(y\) | \(\cdots\) | × | \(\cdots\) |
\(\begin{split}y=-{\frac{\,4\,}{\,x\,}}\end{split}\) より、比例定数は \(-4\) となる
また、\(x=-4\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,-4\,}=1\end{split}\)
\(x=-2\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,-2\,}=2\end{split}\)
\(x=-1\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,-1\,}=4\end{split}\)
\(x=1\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,1\,}=-4\end{split}\)
\(x=2\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,2\,}=-2\end{split}\)
\(x=4\) のとき、\(\begin{split}y=-\frac{\,4\,}{\,4\,}=-1\end{split}\)
したがって、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(\cdots\) |
| \(y\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | × | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(\cdots\) |
【問題一覧】中１｜比例と反比例
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