連立方程式の解の解法
Point：連立方程式の解
\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=5 \\
4x-5y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
どちらの方程式も成り立たせる文字の値を「連立方程式の解」という。
\(x=3~,~y=2\) や \((x~,~y)=(3~,~2)\)
または、\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}\) と表す。
■ 連立方程式の解の確かめ方
それぞれの方程式に解となる \(x~,~y\) を代入して、それぞれ左辺＝右辺となるかを調べる。
\(x=3~,~y=2\) を上の式に代入すると、
\(3+2=5\)
下の式に代入すると、
\(4{\, \small \times \,}3-5{\, \small \times \,}2=12-10=2\)
それぞれの方程式が左辺＝右辺となるので、
\(x=3~,~y=2\) が解となる。
２つの２元１次方程式を組にしたものを「連立方程式」という。
\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=5 \\
4x-5y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
どちらの方程式も成り立たせる文字の値を「連立方程式の解」という。
\(x=3~,~y=2\) や \((x~,~y)=(3~,~2)\)
または、\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}\) と表す。
■ 連立方程式の解の確かめ方
それぞれの方程式に解となる \(x~,~y\) を代入して、それぞれ左辺＝右辺となるかを調べる。
\(x=3~,~y=2\) を上の式に代入すると、
\(3+2=5\)
下の式に代入すると、
\(4{\, \small \times \,}3-5{\, \small \times \,}2=12-10=2\)
それぞれの方程式が左辺＝右辺となるので、
\(x=3~,~y=2\) が解となる。
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問題解説：連立方程式の解
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の連立方程式の解を①〜②より選べ。
\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
3x+2y=4 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(x=1~,~y=1\)
② \(x=2~,~y=-1\)
③ \(x=-1~,~y=2\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の連立方程式の解を①〜②より選べ。
\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
3x+2y=4 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(x=1~,~y=1\)
② \(x=2~,~y=-1\)
③ \(x=-1~,~y=2\)
\(~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x+2y=4 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(x=1~,~y=1\)
\({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=1+1=2\)
(右辺)\(=1\)
これより、(左辺)＝(右辺)ではないので、解ではない
(※ \({\small (b)}\) は調べなくても良い。)
② \(x=2~,~y=-1\)
\({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=2-1=1\)
(右辺)\(=1\)
\({\small (b)}\) に代入すると、
(左辺)\(=3{\, \small \times \,}2+2{\, \small \times \,}(-1)=6-2=4\)
(右辺)\(=4\)
これより、どちらも(左辺)＝(右辺)となるので、\(x=2~,~y=-1\) が解となる
③ \(x=-1~,~y=2\)
\({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=-1+2=1\)
(右辺)\(=1\)
\({\small (b)}\) に代入すると、
(左辺)\(=3{\, \small \times \,}(-1)+2{\, \small \times \,}2=-3+4=1\)
(右辺)\(=4\)
これより、\({\small (a)}\) は(左辺)＝(右辺)となるが \({\small (b)}\) はならない
よって、解ではない
したがって、答えは ② となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の(a)〜(c)の連立方程式のうち、解が \((x~,~y)=(3~,~7)\) となるものを選べ。
① \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x+y=-1 \\
3x+2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=10 \\
5x-3y=18 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-y=-4 \\
5x-2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の(a)〜(c)の連立方程式のうち、解が \((x~,~y)=(3~,~7)\) となるものを選べ。
① \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x+y=-1 \\
3x+2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=10 \\
5x-3y=18 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-y=-4 \\
5x-2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x+y=-1~&\cdots{\small (a)} \\
3x+2y=1~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\((x~,~y)=(3~,~7)\) を \({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=2{\, \small \times \,}3+7=6+7=13\)
(右辺)\(=-1\)
これより、(左辺)＝(右辺)とならないので解ではない
(※ \({\small (b)}\) は調べなくても良い。)
② \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=10~&\cdots{\small (a)} \\
5x-3y=18~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\((x~,~y)=(3~,~7)\) を \({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=3+7=10\)
(右辺)\(=10\)
\({\small (b)}\) に代入すると、
(左辺)\(=5{\, \small \times \,}3-3{\, \small \times \,}7=15-21=-6\)
(右辺)\(=18\)
これより、①は(左辺)＝(右辺)となるが②はならない
よって、解ではない
③ \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-y=-4~&\cdots{\small (a)} \\
5x-2y=1~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\((x~,~y)=(3~,~7)\) を \({\small (a)}\) に代入すると、
(左辺)\(=3-7=-4\)
(右辺)\(=-4\)
\({\small (b)}\) に代入すると、
(左辺)\(=5{\, \small \times \,}3-2{\, \small \times \,}7=15-14=1\)
(右辺)\(=1\)
これより、どちらも(左辺)＝(右辺)となるので \((x~,~y)=(3~,~7)\) が解となる
したがって、答えは ③ となる
【問題一覧】中２｜連立方程式
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