連立方程式の解

Point：連立方程式の解

２つの２元１次方程式を組にしたものを「連立方程式」という。

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　　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x+y=5 \\ 4x-5y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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どちらの方程式も成り立たせる文字の値を「連立方程式の解」という。

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　　$x=3~,~y=2$ や $(x~,~y)=(3~,~2)$

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　　または、$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=2 \end{array}\right.\end{eqnarray}$ と表す。

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■ 連立方程式の解の確かめ方
それぞれの方程式に解となる $x~,~y$ を代入して、それぞれ左辺＝右辺となるかを調べる。

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　$x=3~,~y=2$ を上の式に代入すると、

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　　$3+2=5$

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　下の式に代入すると、

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　　$4{\, \small \times \,}3-5{\, \small \times \,}2=12-10=2$

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　それぞれの方程式が左辺＝右辺となるので、
　$x=3~,~y=2$ が解となる。

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問題

次の問いに答えよ。

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${\small (1)}~$次の連立方程式の解を①〜②より選べ。

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　　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x+y=1 \\ 3x+2y=4 \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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　①　$x=1~,~y=1$
　②　$x=2~,~y=-1$
　③　$x=-1~,~y=2$

$~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x+y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\ 3x+2y=4 ~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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①　$x=1~,~y=1$

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${\small (a)}$ に代入すると、
　(左辺)$=1+1=2$
　(右辺)$=1$

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これより、(左辺)＝(右辺)ではないので、解ではない

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(※ ${\small (b)}$ は調べなくても良い。)

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②　$x=2~,~y=-1$

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${\small (a)}$ に代入すると、
　(左辺)$=2-1=1$
　(右辺)$=1$

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${\small (b)}$ に代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}2+2{\, \small \times \,}(-1)=6-2=4$
　(右辺)$=4$

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これより、どちらも(左辺)＝(右辺)となるので、$x=2~,~y=-1$ が解となる

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③　$x=-1~,~y=2$

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${\small (a)}$ に代入すると、
　(左辺)$=-1+2=1$
　(右辺)$=1$

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${\small (b)}$ に代入すると、
　(左辺)$=3{\, \small \times \,}(-1)+2{\, \small \times \,}2=-3+4=1$
　(右辺)$=4$

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これより、${\small (a)}$ は(左辺)＝(右辺)となるが ${\small (b)}$ はならない

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よって、解ではない

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したがって、答えは ② となる

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (2)}~$次の(a)〜(c)の連立方程式のうち、解が $(x~,~y)=(3~,~7)$ となるものを選べ。

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　①　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} 2x+y=-1 \\ 3x+2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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　②　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x+y=10 \\ 5x-3y=18 \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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　③　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x-y=-4 \\ 5x-2y=1 \end{array}\right.\end{eqnarray}$

①　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} 2x+y=-1~&\cdots{\small (a)} \\ 3x+2y=1~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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$(x~,~y)=(3~,~7)$ を ${\small (a)}$ に代入すると、

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　(左辺)$=2{\, \small \times \,}3+7=6+7=13$
　(右辺)$=-1$

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これより、(左辺)＝(右辺)とならないので解ではない

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(※ ${\small (b)}$ は調べなくても良い。)

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②　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x+y=10~&\cdots{\small (a)} \\ 5x-3y=18~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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$(x~,~y)=(3~,~7)$ を ${\small (a)}$ に代入すると、

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　(左辺)$=3+7=10$
　(右辺)$=10$

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${\small (b)}$ に代入すると、

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　(左辺)$=5{\, \small \times \,}3-3{\, \small \times \,}7=15-21=-6$
　(右辺)$=18$

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これより、①は(左辺)＝(右辺)となるが②はならない
よって、解ではない

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③　$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x-y=-4~&\cdots{\small (a)} \\ 5x-2y=1~&\cdots{\small (b)} \end{array}\right.\end{eqnarray}$

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$(x~,~y)=(3~,~7)$ を ${\small (a)}$ に代入すると、

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　(左辺)$=3-7=-4$
　(右辺)$=-4$

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${\small (b)}$ に代入すると、

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　(左辺)$=5{\, \small \times \,}3-2{\, \small \times \,}7=15-14=1$
　(右辺)$=1$

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これより、どちらも(左辺)＝(右辺)となるので $(x~,~y)=(3~,~7)$ が解となる

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したがって、答えは ③ となる