連立方程式の解と加減法の解法
Point：連立方程式の解と加減法
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=4~&\cdots {\small (a)}\\
2x-y=-1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(x~,~y\) のどちらかの文字が消えるように、両辺を足し算または引き算する。
※ \(+y\) と \(-y\) より、足し算で \(y\) を消去できる。
\(~~~\begin{eqnarray}
x+y&=&4 \\
+\big{)}~~ 2x-y&=&-1 \\
\hline 3x+0&=&3\\[2pt]
x&=&1
\end{eqnarray}\)
② 求めた \(x\) の値( \(y\) の値)を \({\small (a)}\) または \({\small (b)}\) の方程式に代入して、もう一方の値を求める。
\(x=1\) を \({\small (a)}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y&=&4\\[2pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
③ 連立方程式の解を答える。
\(x=1~,~y=3\) や \((x~,~y)=(1~,~3)\)
または、\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=3 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
加減法を使った連立方程式の解き方は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=4~&\cdots {\small (a)}\\
2x-y=-1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(x~,~y\) のどちらかの文字が消えるように、両辺を足し算または引き算する。
※ \(+y\) と \(-y\) より、足し算で \(y\) を消去できる。
\(~~~\begin{eqnarray}
x+y&=&4 \\
+\big{)}~~ 2x-y&=&-1 \\
\hline 3x+0&=&3\\[2pt]
x&=&1
\end{eqnarray}\)
② 求めた \(x\) の値( \(y\) の値)を \({\small (a)}\) または \({\small (b)}\) の方程式に代入して、もう一方の値を求める。
\(x=1\) を \({\small (a)}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y&=&4\\[2pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
③ 連立方程式の解を答える。
\(x=1~,~y=3\) や \((x~,~y)=(1~,~3)\)
または、\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=3 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com
問題解説：連立方程式の解と加減法
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+5y=5 \\
x-5y=15 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+5y=5 \\
x-5y=15 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+5y=5 ~&\cdots{\small (a)}\\
x-5y=15 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(+5y\) と \(-5y\) より、両辺をそれぞれ足し算すれば \(y\) を消去できる。
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+5y&=& 5\\
+\big{)}~~ x-5y &=&15\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(3x+x=4x\)
\(5y-5y=0\)
\(5+15=20\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+5y&=& 5\\
+\big{)}~~ x-5y &=&15\\
\hline 4x+0&=&20\\[2pt]4x&=&20 \end{eqnarray}\)
両辺を \(4\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{31pt}~~~\frac{\,4x\,}{\,4\,}&=&\frac{\,20\,}{\,4\,}\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(3x+5y=5\) に代入すると、
(※ \({\small (b)}\) に代入してもよい。)
\(\begin{eqnarray}~~~3{\, \small \times \,}5+5y&=&5\\[2pt]~~~15+5y&=&5\end{eqnarray}\)
\(15\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{33pt}~~~5y&=&5-15\\[2pt]~~~5y&=&-10\end{eqnarray}\)
両辺を \(5\)で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{27pt}~~~\frac{\,5y\,}{\,5\,}&=&\frac{\,-10\,}{\,5\,}\\[2pt]~~~y&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=5~,~y=-2\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+7y=9 \\
x+5y=7\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+7y=9 \\
x+5y=7\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+7y=9 ~&\cdots{\small (a)}\\
x+5y=7 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(x\) と \(-x\) より、両辺をそれぞれ引き算すれば \(x\) を消去できる。
\(~~~\begin{eqnarray}
x+7y&=& 9\\
-\big{)}~~ x+5y &=&7\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(x-x=0\)
\(7y-5y=2y\)
\(9-7=2\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
x+7y&=& 9\\
-\big{)}~~ x+5y &=&7\\
\hline 0+2y&=&2\\[2pt]2y&=&2 \end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{36pt}~~~\frac{\,2y\,}{\,2\,}&=&\frac{\,2\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x+7y=9\) に代入すると、
(※ \({\small (b)}\) に代入してもよい。)
\(\begin{eqnarray}~~~x+7{\, \small \times \,}1&=&9\\[2pt]~~~x+7&=&9\end{eqnarray}\)
\(7\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}~~~x&=&9-7\\[2pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=2~,~y=1\) となる
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-2y=-7 \\
3x-2y=-9 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-2y=-7 \\
3x-2y=-9 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x-2y=-7 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x-2y=-9 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(-2y\) と \(-2y\) より、両辺をそれぞれ引き算すれば \(y\) を消去できる。
\(~~~\begin{eqnarray}
x-2y&=& -7\\
-\big{)}~~ 3x-2y&=&-9\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(x-3x=-2x\)
\(-2y-(-2y)=0\)
\(-7-(-9)=2\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
x-2y&=& -7\\
-\big{)}~~ 3x-2y&=&-9\\
\hline -2x+0&=&2\\[2pt]-2x&=&2 \end{eqnarray}\)
両辺を \(-2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{32pt}~~~\frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,2\,}{\,-2\,}\\[2pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x-2y=-7\) に代入すると、
(※ \({\small (b)}\) に代入してもよい。)
\(\begin{eqnarray}~~~(-1)-2y&=&-7\\[2pt]~~~-1-2y&=&-7\end{eqnarray}\)
\(-1\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~-2y&=&-7+1\\[2pt]~~~-2y&=&-6\end{eqnarray}\)
両辺を \(-2\)で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{17pt}~~~\frac{\,-2y\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,-6\,}{\,-2\,}\\[2pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-1~,~y=3\) となる
【問題一覧】中２｜連立方程式
このページは「中学数学２ 連立方程式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...
jhs.yorikuwa.com
