両方を何倍かする加減法

Point：両方を何倍かする加減法

片方を何倍かしても、文字を消せないとき、

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\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
7x+2y=9~&\cdots {\small (a)}\\
5x+3y=19~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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① \(x\) または \(y\) の係数がそろうように、それぞれの方程式を何倍かする。

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　\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\)、\({\small (b)}{\, \small \times \,}2\) すると、

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　\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
21x+6y=27 \\
10x+6y=38 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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② 両辺を足し算または引き算する。

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　\(~~~\begin{eqnarray}
21x+6y&=&27 \\
-\big{)}~~ 10x+6y &=&38\\
\hline 11x+0&=&-11\\[2pt]x&=&-1\end{eqnarray}\)

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③ 求めた \(x\) の値( \(y\) の値)を \({\small (a)}\) または \({\small (b)}\) の方程式に代入して、もう一方の値を求める。

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　\(x=-1\) を \({\small (a)}\) に代入して、

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　\(\begin{eqnarray}~~~-7+2y&=&9\\[2pt]~~~y&=&8\end{eqnarray}\)

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　したがって答えは、\(x=-1~,~y=8\)

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問題

次の連立方程式を解け。

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\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x-2y=7 \\
2x+5y=-8 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x-2y=7 ~&\cdots{\small (a)}\\
2x+5y=-8 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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文字 \(x\) が消えるように、\(6x\) でそろえると、

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\({\small (a)}{\, \small \times \,}2\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x{\, \small \times \,}2-2y{\, \small \times \,}2&=&7{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~6x-4y&=&14~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (b)}{\, \small \times \,}3\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x{\, \small \times \,}3+5y{\, \small \times \,}3&=&-8{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~6x+15y&=&-24~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (c)}\) から \({\small (d)}\) を引き算すると、 \(\begin{eqnarray}
6x-4y&=&14 \\
-\big{)}~~ 6x+15y &=&-24\\
\hline \end{eqnarray}\)

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※ それぞれの同類項を計算すると、
　　\(6x-6x=0\)
　　\(-4y-15y=-19y\)
　　\(14-(-24)=38\) となるので、

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\(~~~\begin{eqnarray}
6x-4y&=&14 \\
-\big{)}~~ 6x+15y &=&-24\\
\hline 0-19y&=&38\\[2pt]-19y&=&38 \end{eqnarray}\)

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両辺を \(-19\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~\frac{\,-19y\,}{\,-19\,}&=&\frac{\,38\,}{\,-19\,}\\[2pt]~~~y&=&-2\end{eqnarray}\)

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これを \({\small (a)}\) \(3x-2y=7\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x-2{\, \small \times \,}(-2)&=&7\\[2pt]~~~3x+4&=&7\end{eqnarray}\)

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\(4\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{48pt}~~~3x&=&7-4\\[2pt]~~~3x&=&3\end{eqnarray}\)

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両辺を \(3\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{41pt}~~~\frac{\,3x\,}{\,3\,}&=&\frac{\,3\,}{\,3\,}\\[2pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=1~,~y=-2\) となる

問題

次の連立方程式を解け。

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\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-5y=5 \\
5x-9y=16\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-5y=5 ~&\cdots{\small (a)}\\
5x-9y=16 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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文字 \(x\) が消えるように、\(10x\) でそろえると、

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\({\small (a)}{\, \small \times \,}5\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x{\, \small \times \,}5-5y{\, \small \times \,}5&=&5{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~10x-25y&=&25~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (b)}{\, \small \times \,}2\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~5x{\, \small \times \,}2-9y{\, \small \times \,}2&=&16{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~10x-18y&=&32~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (c)}\) から \({\small (d)}\) を引き算すると、 \(\begin{eqnarray}
10x-25y&=&25 \\
-\big{)}~~ 10x-18y &=&32\\
\hline \end{eqnarray}\)

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※ それぞれの同類項を計算すると、
　　\(10x-10x=0\)
　　\(-25y-(-18y)=-7y\)
　　\(25-32=-7\) となるので、

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\(~~~\begin{eqnarray}
10x-25y&=&25 \\
-\big{)}~~ 10x-18y &=&32\\
\hline 0-7y&=&-7\\[2pt]-7y&=&-7 \end{eqnarray}\)

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両辺を \(-7\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{39pt}~~~\frac{\,-7y\,}{\,-7\,}&=&\frac{\,-7\,}{\,-7\,}\\[2pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)

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これを \({\small (a)}\) \(2x-5y=5\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x-5{\, \small \times \,}1&=&5\\[2pt]~~~2x-5&=&5\end{eqnarray}\)

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\(-5\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{31pt}~~~2x&=&5+5\\[2pt]~~~2x&=&10\end{eqnarray}\)

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両辺を \(2\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{25pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,10\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=5~,~y=1\) となる

問題

次の連立方程式を解け。

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\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
10x-7y=-1 \\
8x+3y=25 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
10x-7y=-1 ~&\cdots{\small (a)}\\
8x+3y=25 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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文字 \(y\) が消えるように、\(21y\) でそろえると、

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\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~10x{\, \small \times \,}3-7y{\, \small \times \,}3&=&-1{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~30x-21y&=&-3~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (b)}{\, \small \times \,}7\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~8x{\, \small \times \,}7+3y{\, \small \times \,}7&=&25{\, \small \times \,}7\\[2pt]~~~56x+21y&=&175~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (c)}\) と \({\small (d)}\) を足し算すると、

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\(\begin{eqnarray}
30x-21y&=&-3 \\
+\big{)}~~ 56x+21y &=&175\\
\hline \end{eqnarray}\)

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※ それぞれの同類項を計算すると、
　　\(30x+56x=86x\)
　　\(-21y+21y=0\)
　　\(-3+175=172\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}
30x-21y&=&-3 \\
+\big{)}~~ 56x+21y &=&175\\
\hline 86x+0&=&172\\[2pt]86x&=&172 \end{eqnarray}\)

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両辺を \(86\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{33pt}~~~\frac{\,86x\,}{\,86\,}&=&\frac{\,172\,}{\,86\,}\\[2pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)

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これを \({\small (a)}\) \(10x-7y=-1\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~10{\, \small \times \,}2-7y&=&-1\\[2pt]~~~20-7y&=&-1\end{eqnarray}\)

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\(20\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{25pt}~~~-7y&=&-1-20\\[2pt]~~~-7y&=&-21\end{eqnarray}\)

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両辺を \(-7\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{22pt}~~~\frac{\,-7y\,}{\,-7\,}&=&\frac{\,-21\,}{\,-7\,}\\[2pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=2~,~y=3\) となる