いろいろな連立方程式の解法
Point：かっこをふくむ連立方程式
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-(y-7)=6~&\cdots {\small (a)}\\
5x+2y=29~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① かっこをふくむ方程式のかっこを外して、
\(ax+by=c\) の形に式変形する。
\({\small (a)}\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-(y-7)&=&6\\[2pt]~~~2x-y+7&=&6\\[2pt]~~~2x-y&=&-1~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-y=-1~&\cdots {\small (c)}\\
5x+2y=29~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
かっこをふくむ連立方程式の解き方は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-(y-7)=6~&\cdots {\small (a)}\\
5x+2y=29~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① かっこをふくむ方程式のかっこを外して、
\(ax+by=c\) の形に式変形する。
\({\small (a)}\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-(y-7)&=&6\\[2pt]~~~2x-y+7&=&6\\[2pt]~~~2x-y&=&-1~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x-y=-1~&\cdots {\small (c)}\\
5x+2y=29~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
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Point：分数をふくむ連立方程式
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
{\large \frac{\,x\,}{\,2\,}}-{\large \frac{\,y\,}{\,3\,}}=1~&\cdots {\small (a)}\\
5x-2y=2~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 係数を整数にするために、分数をふくむ方程式の両辺を◯倍する。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}6\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,x\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}6-\frac{\,y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}6&=&1{\, \small \times \,}6\\[3pt]~~~3x-2y&=&6~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x-2y=6~&\cdots {\small (c)}\\
5x-2y=2~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
分数をふくむ連立方程式の解き方は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
{\large \frac{\,x\,}{\,2\,}}-{\large \frac{\,y\,}{\,3\,}}=1~&\cdots {\small (a)}\\
5x-2y=2~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 係数を整数にするために、分数をふくむ方程式の両辺を◯倍する。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}6\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,x\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}6-\frac{\,y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}6&=&1{\, \small \times \,}6\\[3pt]~~~3x-2y&=&6~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x-2y=6~&\cdots {\small (c)}\\
5x-2y=2~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
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Point：小数をふくむ連立方程式
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
0.3x+0.2y=0.3~&\cdots {\small (a)}\\
2x+y=1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 係数を整数にするために、小数をふくむ方程式の両辺を◯倍する。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}10\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.3x{\, \small \times \,}10+0.2y{\, \small \times \,}10&=&0.3{\, \small \times \,}10\\[3pt]~~~3x+2y&=&3~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+2y=3~&\cdots {\small (c)}\\
2x+y=1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
小数をふくむ連立方程式の解き方は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
0.3x+0.2y=0.3~&\cdots {\small (a)}\\
2x+y=1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 係数を整数にするために、小数をふくむ方程式の両辺を◯倍する。
\({\small (a)}{\, \small \times \,}10\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.3x{\, \small \times \,}10+0.2y{\, \small \times \,}10&=&0.3{\, \small \times \,}10\\[3pt]~~~3x+2y&=&3~~~\cdots {\small (c)}\end{eqnarray}\)
② 加減法や代入法を使って、連立方程式の解 \(x,y\) を求める。
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+2y=3~&\cdots {\small (c)}\\
2x+y=1~&\cdots {\small (b)}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
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問題解説：いろいろな連立方程式
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=1 \\
3(x-2)+5y=-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=1 \\
3(x-2)+5y=-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\
3(x-2)+5y=-1 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (b)}\) のかっこを外して式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x-2)+5y&=&-1\\[2pt]~~~3{\, \small \times \,} x+3{\, \small \times \,}(-2)+5y&=&-1\\[2pt]~~~3x-6+5y&=&-1\end{eqnarray}\)
\(-6\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{50pt}~~~3x+5y&=&-1+6\\[2pt]~~~3x+5y&=&5~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)
よって、この連立方程式は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+2y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x+5y=5 ~&\cdots{\small (c)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\) として、\(3x\) でそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,}3+2y{\, \small \times \,}3&=&1{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~3x+6y&=&3~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)
\({\small (d)}\) から \({\small (c)}\) を引き算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+6y&=&3 \\
-\big{)}~~ 3x+5y &=&5\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(3x-3x=0\)
\(6y-5y=y\)
\(3-5=-2\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+6y&=&3 \\
-\big{)}~~ 3x+5y &=&5\\
\hline 0+y&=&-2\\[2pt]~~~y&=&-2 \end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x+2y=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2{\, \small \times \,}(-2)&=&1\\[2pt]~~~x-4&=&1\end{eqnarray}\)
\(-4\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{47pt}~~~x&=&1+4\\[2pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=5~,~y=-2\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=1 \\
{\large \frac{\,x\,}{\,4\,}}+{\large \frac{\,y\,}{\,6\,}}=2\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=1 \\
{\large \frac{\,x\,}{\,4\,}}+{\large \frac{\,y\,}{\,6\,}}=2\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\
{\large \frac{\,x\,}{\,4\,}}+{\large \frac{\,y\,}{\,6\,}}=2 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (b)}\) の両辺を \({\, \small \times \,}12\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,x\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}12+\frac{\,y\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}12&=&2{\, \small \times \,}12\\[3pt]~~~x{\, \small \times \,}3+y{\, \small \times \,}2&=&24\\[2pt]~~~3x+2y&=&24~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)
よって、この連立方程式は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+3y=1 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x+2y=24 ~&\cdots{\small (c)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small (a)}{\, \small \times \,}3\) として、\(3x\) でそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,}3+3y{\, \small \times \,}3&=&1{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~3x+9y&=&3~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)
\({\small (d)}\) から \({\small (c)}\) を引き算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+9y&=&3 \\
-\big{)}~~ 3x+2y &=&24\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(3x-3x=0\)
\(9y-2y=7y\)
\(3-24=-21\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
3x+9y&=&3 \\
-\big{)}~~ 3x+2y &=&24\\
\hline 0+7y&=&-21\\[2pt]~~~7y&=&-21 \end{eqnarray}\)
両辺を \(7\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{38pt}~~~\frac{\,7y\,}{\,7\,}&=&\frac{\,-21\,}{\,7\,}\\[2pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x+3y=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3{\, \small \times \,}(-3)&=&1\\[2pt]~~~x-9&=&1\end{eqnarray}\)
\(-9\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{47pt}~~~x&=&1+9\\[2pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=10~,~y=-3\) となる
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
0.4x-0.1y=3 \\
3x+2y=17 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の連立方程式を解け。
\({\small (3)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
0.4x-0.1y=3 \\
3x+2y=17 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
0.4x-0.1y=3 ~&\cdots{\small (a)}\\
3x+2y=17 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (a)}\) の両辺を \({\, \small \times \,}10\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.4x{\, \small \times \,}10-0.1y{\, \small \times \,}10&=&3{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~4x-y&=&30~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)
よって、この連立方程式は、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
4x-y=30 ~&\cdots{\small (c)}\\
3x+2y=17 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small (c)}{\, \small \times \,}2\) として、\(2y\) でそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~4x{\, \small \times \,}2-y{\, \small \times \,}2&=&30{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~8x-2y&=&60\end{eqnarray}\)
これから \({\small (b)}\) を足し算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
8x-2y&=&60 \\
+\big{)}~~ 3x+2y &=&17\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(8x+3x=11x\)
\(-2y+2y=0\)
\(60+17=77\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
8x-2y&=&60 \\
+\big{)}~~ 3x+2y &=&17\\
\hline 11x+0&=&77\\[2pt]~~~11x&=&77 \end{eqnarray}\)
両辺を \(11\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{31pt}~~~\frac{\,11x\,}{\,11\,}&=&\frac{\,77\,}{\,11\,}\\[2pt]~~~x&=&7\end{eqnarray}\)
これを \({\small (b)}\) \(3x+2y=17\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3{\, \small \times \,}7+2y&=&17\\[2pt]~~~21+2y&=&17\end{eqnarray}\)
\(21\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{29pt}~~~2y&=&17-21\\[2pt]~~~2y&=&-4\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{22pt}~~~\frac{\,2y\,}{\,2\,}&=&\frac{\,-4\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~y&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=7~,~y=-2\) となる
【問題一覧】中２｜連立方程式
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