Ａ＝Ｂ＝Ｃの連立方程式

Point：Ａ＝Ｂ＝Ｃの連立方程式

Ａ＝Ｂ＝Ｃの解の求め方は、

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① ２つの方程式に分けて、連立方程式にする。

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　Ａ＝Ｂ＝Ｃの形をした方程式は、

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　　\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
{\rm A=B} \\
{\rm B=C} \end{array}\right. ~~~
\left\{\begin{array}{l}
{\rm A=B} \\
{\rm A=C} \end{array}\right. ~~~
\left\{\begin{array}{l}
{\rm A=C} \\
{\rm B=C} \end{array}\right.
\end{eqnarray}\)

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　このいずれかの形にする。

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② できた連立方程式を解き、\(x~,~y\) を求める。

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　たとえば、\(x+y=2x-y=3\) では、
　※ 文字の入っていない \(3\) を２回使って、

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　\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
2x-y=3 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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　これより、連立方程式の解を求める。

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問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (1)}~2x+y=5x+6y=7\end{split}\)

この方程式を連立方程式とすると、

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
2x+y=7 ~&\cdots{\small (a)}\\
5x+6y=7 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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文字 \(y\) が消えるように、\(6y\) でそろえると、

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\({\small (a)}{\, \small {\, \small \times \,} \,}6\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x{\, \small \times \,}6+y{\, \small \times \,}6&=&7{\, \small \times \,}6\\[2pt]~~~12x+6y&=&42~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (c)}\) から \({\small (b)}\) を引き算すると、

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\(~~~\begin{eqnarray}
12x+6y&=&42 \\
-\big{)}~~ 5x+6y &=&7\\
\hline \end{eqnarray}\)

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※ それぞれの同類項を計算すると、
　　\(12x-5x=7x\)
　　\(6y-6y=0\)
　　\(42-7=35\) となるので、

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\(~~~\begin{eqnarray}
12x+6y&=&42 \\
-\big{)}~~ 5x+6y &=&7\\
\hline 7x+0&=&35\\[2pt]7x&=&35\end{eqnarray}\)

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両辺を \(7\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~\frac{\,7x\,}{\,7\,}&=&\frac{\,35\,}{\,7\,}\\[2pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)

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これを \({\small (a)}\) \(2x+y=7\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,}5+y&=&7\\[2pt]~~~10+y&=&7\end{eqnarray}\)

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\(10\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{32pt}~~~y&=&7-10\\[2pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=5~,~y=-3\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (2)}~4x+6y-19=3x-2y=x+y\end{split}\)

この方程式を連立方程式とすると、

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
4x+6y-19=x+y ~&\cdots{\small (a)}\\
3x-2y=x+y ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small (a)}\) を式変形すると、
　\(-19\) と \(x+y\) を移項して、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x+6y-19&=&x+y\\[2pt]~~~4x+6y-x-y&=&19\\[2pt]~~~(4-1)x+(6-1)y&=&19\\[2pt]~~~3x+5y&=&19~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (b)}\) を式変形すると、
　\(x+y\) を移項して、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x-2y&=&x+y\\[2pt]~~~3x-2y-x-y&=&0\\[2pt]~~~(3-2)x+(-2-1)y&=&0\\[2pt]~~~2x-3y&=&0~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)

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よって、この連立方程式は、

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
3x+5y=19 ~&\cdots{\small (c)}\\
2x-3y=0 ~&\cdots{\small (d)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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文字 \(x\) が消えるように、\(6x\) でそろえると、

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\({\small (c)}{\, \small {\, \small \times \,} \,}2\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x{\, \small \times \,}2+5y{\, \small \times \,}2&=&19{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~6x+10y&=&38~~~\cdots{\small (e)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (d)}{\, \small {\, \small \times \,} \,}3\) すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x{\, \small \times \,}3-3y{\, \small \times \,}3&=&0{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~6x-9y&=&0~~~\cdots{\small (f)}\end{eqnarray}\)

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\({\small (e)}\) から \({\small (f)}\) を引き算すると、

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\(~~~\begin{eqnarray}
6x+10y&=&38 \\
-\big{)}~~ 6x-9y&=&0\\
\hline \end{eqnarray}\)

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※ それぞれの同類項を計算すると、
　　\(6x-6x=0\)
　　\(10y-(-9y)=19y\)
　　\(38-0=38\) となるので、

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\(~~~\begin{eqnarray}
6x+10y&=&38 \\
-\big{)}~~ 6x-9y&=&0\\
\hline 0+19y&=&38\\[2pt]19y&=&38 \end{eqnarray}\)

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両辺を \(19\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{33pt}~~~\frac{\,19y\,}{\,19\,}&=&\frac{\,38\,}{\,19\,}\\[2pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)

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これを\({\small (d)}\) \(2x-3y=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x-3{\, \small \times \,}2&=&0\\[2pt]~~~2x-6&=&0\end{eqnarray}\)

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\(-6\) を移項すると、

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\(\begin{split}\hspace{32pt}~~~2x=6\end{split}\)

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両辺を \(2\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{23pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,6\,}{\,2\,}\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=3~,~y=2\) となる