割合と連立方程式の解法
Point：割合と連立方程式
① 求める昨年の人数を \(x~,~y\) とする。
② 今年の人数を割合の計算で求める。
男子は \(10\) ％減って \(90\) ％より、\(\begin{split}\frac{\,90\,}{\,100\,}x\end{split}\) 人
女子は \(5\) ％増えて \(105\) ％より、\(\begin{split}\frac{\,105\,}{\,100\,}y\end{split}\) 人
③ 昨年の合計の方程式と今年の合計の方程式を作り、連立方程式として解を求める。
昨年の合計が \(100\) 人
今年の合計が \(4\) 人減って \(96\) 人より、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=100 \\
{\large \frac{\,90\,}{\,100\,}}x+{\large \frac{\,105\,}{\,100\,}}y=96 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
④ この解が問題の条件文に合うか調べて、「これは問題に適している」と書き、答えを書く。
昨年の合計が \(100\) 人で、今年は男子が \(10\) ％減って、女子が \(5\) ％増えて全体で \(4\) 人減ったとき、昨年のそれぞれの人数は、
① 求める昨年の人数を \(x~,~y\) とする。
② 今年の人数を割合の計算で求める。
男子は \(10\) ％減って \(90\) ％より、\(\begin{split}\frac{\,90\,}{\,100\,}x\end{split}\) 人
女子は \(5\) ％増えて \(105\) ％より、\(\begin{split}\frac{\,105\,}{\,100\,}y\end{split}\) 人
③ 昨年の合計の方程式と今年の合計の方程式を作り、連立方程式として解を求める。
昨年の合計が \(100\) 人
今年の合計が \(4\) 人減って \(96\) 人より、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=100 \\
{\large \frac{\,90\,}{\,100\,}}x+{\large \frac{\,105\,}{\,100\,}}y=96 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)
④ この解が問題の条件文に合うか調べて、「これは問題に適している」と書き、答えを書く。
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問題解説：割合と連立方程式
問題解説
問題
ある中学校で昨年のボランティア参加者は男子と女子を合わせて \(310\) 人であった。今年は昨年と比べて男子は \(8\) %増えて、女子は \(5\) %減って合計は \(4\) 人増えた。
このとき、昨年の男子と女子の参加者の人数をそれぞれ求めよ。
昨年の男子の参加者を \(x\) 人、女子の参加者を \(y\) 人とすると、
今年の男子の参加者は \(8\) %増えているので、
\(\begin{split}~~~x{\, \small \times \,}\frac{\,100+8\,}{\,100\,}=\frac{\,108\,}{\,100\,}x\end{split}\) 人
今年の女子の参加者は \(5\) %減っているので、
\(\begin{split}~~~y{\, \small \times \,}\frac{\,100-5\,}{\,100\,}=\frac{\,95\,}{\,100\,}y\end{split}\) 人
昨年の合計人数は \(310\) 人より、
\(\begin{split}~~~x+y=310\end{split}\)
今年の合計人数は昨年より \(4\) 人増えた \(314\) 人より、
\(\begin{split}~~~\frac{\,108\,}{\,100\,}x+\frac{\,95\,}{\,100\,}y=314\end{split}\)
これらを連立方程式とすると、
\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x+y=310 ~&\cdots{\small (a)}\\
{\large \frac{\,108\,}{\,100\,}}x+{\large \frac{\,95\,}{\,100\,}}y=314 ~&\cdots{\small (b)}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
係数を整数とするために、\({\small (b)}{\, \small \times \,}100\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,108\,}{\,100\,}x{\, \small \times \,}100+\frac{\,95\,}{\,100\,}y{\, \small \times \,}100&=&314{\, \small \times \,}100\\[2pt]~~~108x+95y&=&31400~~~\cdots{\small (c)}\end{eqnarray}\)
文字 \(y\) が消えるように、\(95y\) でそろえると、
\({\small (a)}{\, \small {\, \small \times \,} \,}95\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,}95+y{\, \small \times \,}95&=&310{\, \small \times \,}95\\[2pt]~~~95x+95y&=&29450~~~\cdots{\small (d)}\end{eqnarray}\)
\({\small (c)}\) から \({\small (d)}\) を引き算すると、
\(~~~\begin{eqnarray}
108x+95y&=&31400 \\
-\big{)}~~ 95x+95y &=&29450\\
\hline \end{eqnarray}\)
※ それぞれの同類項を計算すると、
\(108x-95x=13x\)
\(95y-95y=0\)
\(31400-29450=1950\) となるので、
\(~~~\begin{eqnarray}
108x+95y&=&31400 \\
-\big{)}~~ 95x+95y &=&29450\\
\hline 13x+0&=&1950\\[2pt]13x&=&1950\end{eqnarray}\)
両辺を \(13\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{41pt}\frac{\,13x\,}{\,13\,}&=&\frac{\,1950\,}{\,13\,}\\[2pt]~~~x&=&150\end{eqnarray}\)
これを \({\small (a)}\) \(x+y=310\) に代入すると、
\(\begin{split}~~~~~150+y=310\end{split}\)
\(150\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\hspace{26pt}y&=&310-150\\[2pt]~~~y&=&160\end{eqnarray}\)
これは問題に適している
したがって、答えは
昨年の男子は \(150\) 人、女子は \(160\) 人
となる
【問題一覧】中２｜連立方程式
このページは「中学数学２ 連立方程式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...
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