１次関数の式

Point：１次関数

\(y\) が \(x\) の関数で１次式のとき、\(y\) は \(x\) の１次関数であるといい、\(a~,~b\) を定数として、

と表されて、\(ax\) を \(x\) に比例する部分(項)、\(b\) を定数の部分(定数項)という。

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逆に、\(y\) を \(x\) の式で表したとき、\(y=ax+b\) となれば \(y\) は \(x\) の１次関数であるといえる。

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※ \(b=0\) のとき、\(y=ax\) (比例の式)となり、比例は１次関数の特別な場合である。

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)深さ \(30~{\rm cm}\) の水そうに高さ \(10~{\rm cm}\) まで水が入っている。\(1\) 分間で \(2~{\rm cm}\) の割合で水面が高くなるように水を入れた。水を入れ始めてから \(x\) 分後の水面の高さを \(y~{\rm cm}\) とする。

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①〜⑥に入る数を答えよ。また、\(y\) を \(x\) の式で表せ。

\(1\) 分後 \(2{\, \small \times \,}1=2~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　①　\(\begin{split}10+2=12~{\rm cm}\end{split}\)

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\(2\) 分後 \(2{\, \small \times \,}2=4~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　②　\(\begin{split}10+4=14~{\rm cm}\end{split}\)

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\(3\) 分後 \(2{\, \small \times \,}3=6~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　③　\(\begin{split}10+6=16~{\rm cm}\end{split}\)

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\(4\) 分後 \(2{\, \small \times \,}4=8~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　④　\(\begin{split}10+8=18~{\rm cm}\end{split}\)

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\(5\) 分後 \(2{\, \small \times \,}5=10~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　⑤　\(\begin{split}10+10=20~{\rm cm}\end{split}\)

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\(6\) 分後 \(2{\, \small \times \,}6=12~{\rm cm}\) 高くなるので、

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　⑥　\(\begin{split}10+12=22~{\rm cm}\end{split}\)

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また、\(y\) を \(x\) の式で表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&10+2{\, \small \times \,} x\\[2pt]~~~y&=&2x+10\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは
　　① \(12\)　② \(14\)　③ \(16\) ④ \(18\)　⑤ \(20\)　⑥ \(22\)
　　\(y=2x+10\)
となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)次に \(x\) と \(y\) について、\(y\) を \(x\) の式で表して \(y\) か \(x\) の１次関数であるものを選べ。

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　①　\(1\) 個 \(120\) 円のりんご \(x\) 個の
　　　合計代金が \(y\) 円である。

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　②　底辺 \(x~{\rm cm}\)、高さ \(y~{\rm cm}\) の三角形の
　　　面積が \(15~{\rm cm}^2\) である。

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　③　\(18~{\rm cm}\) の線香に火をつけると、\(1\) 分間に
　　　\(1~{\rm cm}\) ずつ短くなるとき、\(x\) 分後の線香の
　　　長さが \(y~{\rm cm}\) である。

①　

\(1\) 個 \(120\) 円のりんご \(x\) 個で、

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\(\begin{split}~~~120{\, \small \times \,} x=120x\end{split}\)

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これが \(y\) 円となるので、

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\(\begin{split}~~~y=120x\end{split}\)

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したがって、\(y\) は \(x\) の１次関数となる

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②　
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」より、

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\(\begin{split}~~~x{\, \small \times \,} y {\, \small \div \,} 2=\frac{\,xy\,}{\,2\,}\end{split}\)

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これが \(15~{\rm cm}^2\) となるので、

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\(\begin{split}~~~\frac{\,xy\,}{\,2\,}=15\end{split}\)

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\(y\) について式変形すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,xy\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2&=&15{\, \small \times \,}2\\[3pt]~~~xy&=&30\\[3pt]~~~\frac{\,xy\,}{\,x\,}&=&\frac{\,30\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y&=&\frac{\,30\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) は \(x\) に反比例する

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③　
\(x\) 分間で \(1{\, \small \times \,} x=x~{\rm cm}\) 短くなるので、\(x\) 分後の長さは、

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\(\begin{split}~~~18-x\end{split}\)

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これが \(y~{\rm cm}\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&18-x\\[2pt]~~~y&=&-x+18\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) は \(x\) の１次関数となる