連立方程式とグラフ

Point：連立方程式とグラフ

連立方程式をグラフで解くと、

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}x-y=-2 \\2x+y=-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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① 連立方程式のそれぞれの２元１次方程式を、１次関数の式に式変形する。

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\y=-2x-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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② ２本の直線をかき、グラフの交点を読みとり、その \(x\) 座標と \(y\) 座標が解となる。

　グラフから交点が \((-1~,~1)\) より、

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　連立方程式の解は \(x=-1~,~y=1\) となる

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Point：直線の交点と連立方程式

直線の交点が読みとることができないとき、

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① グラフより、２つの直線の式を求める。

　直線の式は、

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　\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=x+1 \\y=-3x-2 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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② 連立方程式として解き、解を求める。この解がグラフの交点の座標となる。

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　連立方程式の解を求めると、

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　\(\begin{split}~~~x=-\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)

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　よって、交点の座標は、\(\begin{split}\left(-\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\end{split}\)

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)次の連立方程式の解をグラフをかくことで求めよ。

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　① \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}x-y=1 \\2x+3y=12 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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　② \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}2x+y+3=0 \\x-2y+4=0 \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

① \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}x-y=1 ~~\cdots{\large ①}\\2x+3y=12 ~~\cdots{\large ②} \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

それぞれの２元１次方程式を \(y\) について解くと、
①より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-y&=&1\\[2pt]~~~y&=&-x+1\\[2pt]~~~y&=&x-1\end{eqnarray}\)

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②より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+3y&=&12\\[2pt]~~~3y&=&-2x+12\\[3pt]~~~\frac{\,3y\,}{\,3\,}&=&\frac{\,-2x\,}{\,3\,}+\frac{\,12\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~y&=&-\frac{\,2\,}{\,3\,}x+4\end{eqnarray}\)

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それぞれのグラフをかくと、

グラフの交点の座標が \((3~,~2)\) より、

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この連立方程式の解は、\(\begin{split}x=3~,~y=2\end{split}\) となる

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② \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}2x+y+3=0~~\cdots{\large ①} \\x-2y+4=0~~\cdots{\large ②} \end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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それぞれの２元１次方程式を \(y\) について解くと、
①より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+y+3&=&0\\[2pt]~~~y&=&-2x-3\end{eqnarray}\)

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②より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-2y+4&=&0\\[2pt]~~~-2y&=&-x-4\\[3pt]~~~\frac{\,-2y\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,-x\,}{\,-2\,}+\frac{\,-4\,}{\,-2\,}\\[3pt]~~~y&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\end{eqnarray}\)

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それぞれのグラフをかくと、

交点の座標が \((-2~,~1)\) より、

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この連立方程式の解は、\(\begin{split}x=-2~,~y=1\end{split}\) となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)次の図の２直線の交点の座標を求めよ。

①のグラフを読みとると、

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\(y\) 軸との交点 \((0~,~-3)\) より、切片 \(-3\)

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\(x\) の増加量 \(3\) とき \(y\) の増加量 \(3\)であるので、

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傾き \(\begin{split}{\frac{\,3\,}{\,3\,}}=1\end{split}\) となり、

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\(\begin{split}~~~y=x-3~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)

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②のグラフを読みとると、

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\(y\) 軸との交点 \((0~,~-1)\) より、切片 \(-1\)

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\(x\) の増加量 \(-2\) とき \(y\) の増加量 \(1\)であるので、

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傾き \(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,-2\,}}=-{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\end{split}\) となり、

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\(\begin{split}~~~y=-\frac{\,1\,}{\,2\,}x-1~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)

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これらを連立方程式として、

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\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=x-3 ~&\cdots{\large ①}\\y=-{\Large \frac{\,1\,}{\,2\,}}x-1 ~&\cdots{\large ②}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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①を②に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{7pt}~~~x-3&=&-\frac{\,1\,}{\,2\,}x-1\\[3pt]~~~x+\frac{\,1\,}{\,2\,}x&=&-1+3\\[3pt]~~~\frac{\,2+1\,}{\,2\,}x&=&2\\[3pt]~~~\frac{\,3\,}{\,2\,}x&=&2\end{eqnarray}\)

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両辺に \(\begin{split}{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) を掛け算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,3\,}{\,2\,}x{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,3\,}&=&2{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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①に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\frac{\,4\,}{\,3\,}-3\\[3pt]~~~&=&\frac{\,4-9\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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よって、連立方程式の解が、

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\(\begin{split}~~~x=\frac{\,4\,}{\,3\,}~,~y=-\frac{\,5\,}{\,3\,}\end{split}\)

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となるので、２本の直線の交点の座標は、

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\(\begin{split}~~~\left(\frac{\,4\,}{\,3\,}~,~-\frac{\,5\,}{\,3\,}\right)\end{split}\) となる