三角形の内角と外角

三角形の内角と外角の解法
問題解説：三角形の内角と外角
- 問題解説(1)
- 問題解説(2)

三角形の内角と外角の解法

Point：三角形の内角と外角

■ 三角形の内角と外角

$\triangle {\rm ABC}$ の３つの角 $\angle{\rm A}~,~\angle{\rm B}~,~\angle{\rm C}$ を「内角」といい、

$$\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=180^\circ$$

また、$\angle {\rm ACE}$ や $\angle {\rm BCD}$ のように、１辺とこのとなり合う辺を延長した直線がつくる角を、点 ${\rm C}$ にお「外角」という。
外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい。

$$\angle{\rm ACE}=\angle{\rm A}+\angle{\rm B}$$$$\angle{\rm BCD}=\angle{\rm A}+\angle{\rm B}$$

■ 三角形の分類
$0^\circ$ より大きく $90^\circ$ より小さい角を「鋭角」といい、$90^\circ$ より大きく $180^\circ$ より小さい角を「鈍角」という。

① 鋭角三角形
　３つの内角がすべて鋭角である三角形。
② 直角三角形
　１つの内角が直角である三角形。
③ 鈍角三角形
　１つの内角が鈍角である三角形。

問題解説：三角形の内角と外角

問題解説(1)

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の図において、$\angle x$ の大きさを求めよ。
$~~{\large ①}~$

$~~{\large ②}~$

$~~{\large ③}~$

$~~{\large ④}~$

$~~{\large ⑤}~$

${\large ①}~$

三角形の内角の和が $180^\circ$ となるので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle x+50^\circ+60^\circ&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle x+110^\circ&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&180^\circ-110^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&70^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=70^\circ$ となる

${\large ②}~$

三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle x&=&25^\circ+30^\circ\\[2pt]~~~&=&55^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=55^\circ$ となる

${\large ③}~$

三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle x&=&30^\circ+40^\circ\\[2pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=70^\circ$ となる

${\large ④}~$

対頂角が等しいことより、$\angle {\rm AOB}=\angle {\rm DOC}=\angle a$ とすると、
$\triangle {\rm ABO}$ の内角の和が $180^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~60^\circ+50^\circ+\angle a&=&180^\circ\\[2pt]~~~110^\circ+\angle a&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle a&=&180^\circ-110^\circ\\[2pt]~~~\angle a&=&70^\circ\end{eqnarray}$$$\triangle {\rm DOC}$ の内角の和が $180^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~\angle x+70^\circ+40^\circ&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle x+110^\circ&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&180^\circ-110^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&70^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=70^\circ$ となる

【別解】

頂点 ${\rm O}$ における外角を $\angle b$ とすると、
$\triangle {\rm ABO}$ の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle b&=&60^\circ+50^\circ\\[2pt]~~~&=&110^\circ\end{eqnarray}$$$\triangle {\rm DOC}$ の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$~~~\angle b=\angle x+40^\circ$$$\angle b=110^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~110^\circ&=&\angle x+40^\circ\\[2pt]~~~\angle x+40^\circ&=&110^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&110^\circ-40^\circ\\[2pt]~~~\angle x&=&70^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=70^\circ$ となる

${\large ⑤}~$

線分 ${\rm }$ の延長した直線と線分 ${\rm }$ との交点を ${\rm }$ とする
また、点 ${\rm }$ の外角を $\angle d$ とすると、
$\triangle {\rm ADC}$ の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle d&=&40^\circ+30^\circ\\[2pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}$$また、$\triangle {\rm PDB}$ の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle x&=&70^\circ+20^\circ\\[2pt]~~~&=&90^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$\angle x=90^\circ$ となる

問題解説(2)

問題

次の問いに答えよ。
${\small (2)}~$三角形の２つの内角が次のとき、
　鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形
とどれとなるか答えよ。
$~~{\large ①}~20^\circ~,~70^\circ$
$~~{\large ②}~40^\circ~,~60^\circ$
$~~{\large ③}~20^\circ~,~30^\circ$

${\large ①}~$三角形の内角の和が $180^\circ$ より、残りの１つの内角は、$$\begin{split}&180^\circ-(20^\circ+70^\circ)\\[2pt]~~=~&180^\circ-90^\circ\\[2pt]~~=~&90^\circ\end{split}$$したがって、１つの内角が直角であるので、
　直角三角形
となる

${\large ②}~$三角形の内角の和が $180^\circ$ より、残りの１つの内角は、$$\begin{split}&180^\circ-(40^\circ+60^\circ)\\[2pt]~~=~&180^\circ-100^\circ\\[2pt]~~=~&80^\circ\end{split}$$したがって、３つの内角がすべて鋭角となるので、
　鋭角三角形
となる

${\large ③}~$三角形の内角の和が $180^\circ$ より、残りの１つの内角は、$$\begin{split}&180^\circ-(20^\circ+30^\circ)\\[2pt]~~=~&180^\circ-50^\circ\\[2pt]~~=~&130^\circ\end{split}$$したがって、１つの内角が鈍角であるので、
　鈍角三角形
となる