二等辺三角形になるための条件

二等辺三角形になるための条件の解法

Point：二等辺三角形になるための条件

二等辺三角形の定理は、

【定理】三角形の２つの角が等しければ、その三角形は等しい２つの角を底角とする二等辺三角形となる。

■ 二等辺三角形になるための条件

三角形において、
　(1) 三角形の２つの辺が等しい (定義)
　(2) 三角形の２つの角が等しい (定理)
これらのどちらかを示せばよい。

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問題

次の証明をせよ。

\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) において、
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) ならば \({\rm AB=AC}\)
であることを、\(\angle {\rm A}\) の二等分線をひくことで証明せよ。

\({\rm AB=AC}\) を示すために、２つの三角形 \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) に着目する。

[証明] \(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とする
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) について、
仮定より、

\(~~~\angle{\rm ABD}=\angle{\rm ACD}~~~\cdots{\large ①}\)

線分 \({\rm AD}\) は \(\angle{\rm A}\) の二等分するので、

\(~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)

①、②と三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、残りの角も等しいので、

\(~~~\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC}~~~\cdots{\large ③}\)

また、共通の辺より、

\(~~~{\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ④}\)

②、③、④より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(~~~\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)

合同な図形では、対応する角が等しいから、

\(~~~{\rm AB=AC}\)

[終]

※ これより、二等辺三角形の定理である「三角形の２つの角が等しければ、その三角形は等しい２つの角を底角とする二等辺三角形となる。」が示される。

問題

次の証明をせよ。

\({\small (2)}~\)\({\rm AB=AC}\) の二等辺三角形 \(\triangle {\rm ABC}\) において、底角 \(\angle{\rm B}~,~\angle{\rm C}\) のそれぞれの二等分線をひいて、その交点を \({\rm P}\) とする

このとき、\(\triangle {\rm PBC}\) が二等辺三角形であることを証明せよ。

\(\triangle {\rm PBC}\) が二等辺三角形を示すために、２つの底角が \(\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\) を示す。

[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) は \({\rm AB=AC}\) の二等辺三角形より、底角が等しいので、

\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}~~~\cdots{\large ①}\)

また、\({\rm BP}\) と \({\rm CP}\) はそれぞれ \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) の二等分線であるので、

\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\angle{\rm ABC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)

\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\angle{\rm ACB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)

①、②、③より、

\(~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\)

これより、\(\triangle {\rm PBC}\) の２つの角が等しいので、
\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形である [終]