因数分解の公式①(和と積)の解法
Point：因数分解の公式①(和と積)
\(\begin{split}x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\end{split}\)
例えば、\(x^2+8x+12\) は、
① 和が \(8\) で、積が \(12\) となる２つの数を考える。
先に積が \(12\) となる組を考えて、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}12~~,~~(-1){\, \small \times \,}(-12)\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}6~~,~~(-2){\, \small \times \,}(-6)\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~3{\, \small \times \,}4~~,~~(-3){\, \small \times \,}(-4)\end{split}\)
この中で和が \(8\) となる組をさがすと、
\(\begin{split}~~~~~~2+6=8\end{split}\)
② この２つの数を用いて、因数分解する。
２つの数が \(2\) と \(6\) より、
\(\begin{split}&x^2+8x+12\\[2pt]~~=~&(x+2)(x+6)\end{split}\)
\(x^2+(a+b)x+ab\) の因数分解は、
\(\begin{split}x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\end{split}\)
※ \(x\) の係数から和が \(a+b\)、定数項から積が \(ab\)
となる２つの数を考える。
例えば、\(x^2+8x+12\) は、
① 和が \(8\) で、積が \(12\) となる２つの数を考える。
先に積が \(12\) となる組を考えて、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}12~~,~~(-1){\, \small \times \,}(-12)\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}6~~,~~(-2){\, \small \times \,}(-6)\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~3{\, \small \times \,}4~~,~~(-3){\, \small \times \,}(-4)\end{split}\)
この中で和が \(8\) となる組をさがすと、
\(\begin{split}~~~~~~2+6=8\end{split}\)
② この２つの数を用いて、因数分解する。
２つの数が \(2\) と \(6\) より、
\(\begin{split}&x^2+8x+12\\[2pt]~~=~&(x+2)(x+6)\end{split}\)
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問題解説：因数分解の公式①(和と積)
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+5x+6\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+5x+6\end{split}\)
積が \(6\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}6~~,~~(-1){\, \small \times \,}(-6)\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}3~~,~~(-2){\, \small \times \,}(-3)\end{split}\)
この中で和が \(5\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~2+3=5\end{split}\)
２つの数は \(2\) と \(3\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+5x+6\\[2pt]~~=~&x^2+(2+3)x+2{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~=~&(x+2)(x+3)\end{split}\)
したがって、答えは \((x+2)(x+3)\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~x^2+5x-14\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~x^2+5x-14\end{split}\)
積が \(-14\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}(-14)~~,~~(-1){\, \small \times \,}14\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}(-7)~~,~~(-2){\, \small \times \,}7\end{split}\)
この中で和が \(5\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~(-2)+7=5\end{split}\)
２つの数は \(-2\) と \(7\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+5x-14\\[2pt]~~=~&x^2+\left\{ (-2)+7\right\} x+(-2){\, \small \times \,}7\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+7)\end{split}\)
したがって、答えは \((x-2)(x+7)\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2-2x-15\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2-2x-15\end{split}\)
積が \(-15\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}(-15)~~,~~(-1){\, \small \times \,}15\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~3{\, \small \times \,}(-5)~~,~~(-3){\, \small \times \,}5\end{split}\)
この中で和が \(-2\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~3+(-5)=-2\end{split}\)
２つの数は \(3\) と \(-5\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2-2x-15\\[2pt]~~=~&x^2+\left\{ 3+(-5)\right\} x+3{\, \small \times \,}(-5)\\[2pt]~~=~&(x+3)(x-5)\end{split}\)
したがって、答えは \((x+3)(x-5)\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~a^2-6a+5\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~a^2-6a+5\end{split}\)
積が \(5\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}5~~,~~(-1){\, \small \times \,}(-5)\end{split}\)
この中で和が \(-6\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~(-1)+(-5)=-6\end{split}\)
２つの数は \(-1\) と \(-5\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&a^2-6a+5\\[2pt]~~=~&a^2+\left\{ (-1)+(-5)\right\} a+(-1){\, \small \times \,}(-5)\\[2pt]~~=~&(a-1)(a-5)\end{split}\)
したがって、答えは \((a-1)(a-5)\) となる。
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~x^2+4x-12\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~x^2+4x-12\end{split}\)
積が \(-12\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}(-12)~~,~~(-1){\, \small \times \,}12\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}(-6)~~,~~(-2){\, \small \times \,}6\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~3{\, \small \times \,}(-4)~~,~~(-3){\, \small \times \,}4\end{split}\)
この中で和が \(4\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~(-2)+6=4\end{split}\)
２つの数は \(-2\) と \(6\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+4x-12\\[2pt]~~=~&x^2+\left\{ (-2)+6\right\} x+(-2){\, \small \times \,}6\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+6)\end{split}\)
したがって、答えは \((x-2)(x+6)\) となる。
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~~x^2-x-42\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~~x^2-x-42\end{split}\)
積が \(-42\) となる２つの数は、
\(\begin{split}~~~~~~1{\, \small \times \,}(-42)~~,~~(-1){\, \small \times \,}42\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~2{\, \small \times \,}(-21)~~,~~(-2){\, \small \times \,}21\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~3{\, \small \times \,}(-14)~~,~~(-3){\, \small \times \,}14\end{split}\)
\(\begin{split}~~~~~~6{\, \small \times \,}(-7)~~,~~(-6){\, \small \times \,}7\end{split}\)
この中で和が \(-1\) となるのは、
\(\begin{split}~~~~~~6+(-7)=-1\end{split}\)
２つの数は \(6\) と \(-7\) となり、因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2-x-42\\[2pt]~~=~&x^2+\left\{ 6+(-7)\right\} x+6{\, \small \times \,}(-7)\\[2pt]~~=~&(x+6)(x-7)\end{split}\)
したがって、答えは \((x+6)(x-7)\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
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