因数分解の公式②(２乗の式)の解法
Point：因数分解の公式②(２乗の式)
和が \(2a\) 、積が \(a^2\) となる組合せは \(a\) と \(a\)
\(\begin{split}&x^2+2ax+a^2
\\[2pt]~~=~&(x+a)(x+a)
\\[2pt]~~=~&(x+a)^2
\end{split}\)
これより、公式は、
\(\begin{split}x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\end{split}\)
■ \(x^2-a^2\) の因数分解
２乗 ー ２乗の形の因数分解の公式は、
\(\begin{split}x^2-a^2=(x+a)(x-a)\end{split}\)
■ \(x^2+2ax+a^2\) の因数分解
和が \(2a\) 、積が \(a^2\) となる組合せは \(a\) と \(a\)
\(\begin{split}&x^2+2ax+a^2
\\[2pt]~~=~&(x+a)(x+a)
\\[2pt]~~=~&(x+a)^2
\end{split}\)
これより、公式は、
\(\begin{split}x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\end{split}\)
■ \(x^2-a^2\) の因数分解
２乗 ー ２乗の形の因数分解の公式は、
\(\begin{split}x^2-a^2=(x+a)(x-a)\end{split}\)
©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com
問題解説：因数分解の公式②(２乗の式)
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+6x+9\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+6x+9\end{split}\)
和が \(6\) で、積が \(9\) となる２つの数の組は、
\(\begin{split}~~~3+3=6~,~3{\, \small \times \,}3=9\end{split}\)
よって、\(3\) と \(3\) になる
因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+6x+9\\[2pt]~~=~&x^2+(3+3)x+3{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~=~&(x+3)(x+3)\\[2pt]~~=~&(x+3)^2\end{split}\)
したがって、答えは \((x+3)^2\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~a^2-10a+25\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~a^2-10a+25\end{split}\)
和が \(-10\) で、積が \(25\) となる２つの数の組は、
\(\begin{split}&(-5)+(-5)=-10\\[2pt]~~~~~~&(-5){\, \small \times \,}(-5)=25\end{split}\)
よって、\(-5\) と \(-5\) になる
因数分解すると、
\(\begin{split}&a^2-10a+25\\[2pt]~~=~&a^2+\{(-5)+(-5)\}a+(-5)^2\\[2pt]~~=~&(a-5)(a-5)\\[2pt]~~=~&(a-5)^2\end{split}\)
したがって、答えは \((a-5)^2\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2-14x+49\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2-14x+49\end{split}\)
和が \(-14\) で、積が \(49\) となる２つの数の組は、
\(\begin{split}&(-7)+(-7)=-14\\[2pt]~~~~~~&(-7){\, \small \times \,}(-7)=49\end{split}\)
よって、\(-7\) と \(-7\) になる
因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2-14x+49\\[2pt]~~=~&x^2+\{(-7)+(-7)\}x+(-7)^2\\[2pt]~~=~&(x-7)(x-7)\\[2pt]~~=~&(x-7)^2\end{split}\)
したがって、答えは \((x-7)^2\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~x^2-81\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~x^2-81\end{split}\)
\(81=9^2\) として、２乗 ー ２乗の形の因数分解より、
\(\begin{split}&x^2-81\\[2pt]~~=~&x^2-9^2\\[2pt]~~=~&(x+9)(x-9)\end{split}\)
したがって、答えは \((x+9)(x-9)\) となる。
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~x^2-\frac{\,1\,}{\,4\,}\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~x^2-\frac{\,1\,}{\,4\,}\end{split}\)
\(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,4\,}}=\left({\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)^2\end{split}\) として、２乗 ー ２乗の形の因数分解より、
\(\begin{split}&x^2-\frac{\,1\,}{\,4\,}\\[3pt]~~=~&x^2-\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2\\[3pt]~~=~&\left(x+\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\left(x-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}\left(x+{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)\left(x-{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)\end{split}\) となる。
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~~9-y^2\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~~9-y^2\end{split}\)
\(9=3^2\) として、２乗 ー ２乗の形の因数分解より、
\(\begin{split}&9-y^2\\[2pt]~~=~&3^2-y^2\\[2pt]~~=~&(3+y)(3-y)\end{split}\)
したがって、答えは \((3+y)(3-y)\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
このページは「中学数学３ 展開と因数分解」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
jhs.yorikuwa.com
