今回の問題は「いろいろな因数分解①(共通因数)」です。
\(~~~\)数研出版 これからの数学３ p.32 問6~7
\(~~~\)東京書籍 新しい数学３ p.29 問8~10
\(~~~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.26 問10
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~3x^2-3x-6\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~~5ax^2-45a\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~~2a^2+20a+50\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~~9x^2+6x+1\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~~16x^2-24xy+9y^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~~9a^2-16b^2\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~3x^2-3x-6\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~~5ax^2-45a\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~~2a^2+20a+50\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~~9x^2+6x+1\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~~16x^2-24xy+9y^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~~9a^2-16b^2\end{split}\)
Point：x²の係数が１でない式(共通因数)
① 式全体の共通因数を調べて、くくり出す。
\(\begin{split}&5x^2+20x+20
\\[2pt]~~=~&5{\, \small \times \,}x^2+5{\, \small \times \,}4x+5{\, \small \times \,}4
\\[2pt]~~=~&5(x^2+4x+4)
\end{split}\)
② ( ) の中をさらに因数分解する。
\(\begin{split}~~=~&5\{x^2+(2+2)x+(2{\, \small \times \,}2)\}
\\[2pt]~~=~&5(x+2)^2
\end{split}\)
x²の係数が１でない式の因数分解は、
① 式全体の共通因数を調べて、くくり出す。
\(\begin{split}&5x^2+20x+20
\\[2pt]~~=~&5{\, \small \times \,}x^2+5{\, \small \times \,}4x+5{\, \small \times \,}4
\\[2pt]~~=~&5(x^2+4x+4)
\end{split}\)
② ( ) の中をさらに因数分解する。
\(\begin{split}~~=~&5\{x^2+(2+2)x+(2{\, \small \times \,}2)\}
\\[2pt]~~=~&5(x+2)^2
\end{split}\)
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Point：x²の係数が１でない式(因数分解の公式)
■ \(a^2x^2+2abx+b^2\) のタイプ
\(x^2\) の項を \(a^2x^2=(ax)^2\) と考えて因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2+2abx+b^2=(ax+b)^2\end{split}\)
例えば、\(\begin{split}9x^2+12x+4\end{split}\)
\(9x^2=(3x)^2~,~4=2^2\) とすると、
\(12x=2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,}2 {\, \small \times \,} x\) となる
\(\begin{split}&9x^2+12x+4\\[2pt]~~=~&(3x)^2+2{\, \small \times \,} 3{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x+2^2\\[2pt]~~=~&(3x+2)^2\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2y^2\) タイプ
\(a^2x^2=(ax)^2~,~b^2y^2=(by)^2\) として、２乗 ー ２乗の因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2-b^2y^2=(ax+by)(ax-by)\end{split}\)
x²の係数が１でない式で共通因数でくくり出せない式の因数分解は、
■ \(a^2x^2+2abx+b^2\) のタイプ
\(x^2\) の項を \(a^2x^2=(ax)^2\) と考えて因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2+2abx+b^2=(ax+b)^2\end{split}\)
例えば、\(\begin{split}9x^2+12x+4\end{split}\)
\(9x^2=(3x)^2~,~4=2^2\) とすると、
\(12x=2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,}2 {\, \small \times \,} x\) となる
\(\begin{split}&9x^2+12x+4\\[2pt]~~=~&(3x)^2+2{\, \small \times \,} 3{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x+2^2\\[2pt]~~=~&(3x+2)^2\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2y^2\) タイプ
\(a^2x^2=(ax)^2~,~b^2y^2=(by)^2\) として、２乗 ー ２乗の因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2-b^2y^2=(ax+by)(ax-by)\end{split}\)
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