いろいろな因数分解①(共通因数)の解法
Point：x²の係数が１でない式(共通因数)
① 式全体の共通因数を調べて、くくり出す。
\(\begin{split}&5x^2+20x+20
\\[2pt]~~=~&5{\, \small \times \,}x^2+5{\, \small \times \,}4x+5{\, \small \times \,}4
\\[2pt]~~=~&5(x^2+4x+4)
\end{split}\)
② ( ) の中をさらに因数分解する。
\(\begin{split}~~=~&5\{x^2+(2+2)x+(2{\, \small \times \,}2)\}
\\[2pt]~~=~&5(x+2)^2
\end{split}\)
x²の係数が１でない式の因数分解は、
① 式全体の共通因数を調べて、くくり出す。
\(\begin{split}&5x^2+20x+20
\\[2pt]~~=~&5{\, \small \times \,}x^2+5{\, \small \times \,}4x+5{\, \small \times \,}4
\\[2pt]~~=~&5(x^2+4x+4)
\end{split}\)
② ( ) の中をさらに因数分解する。
\(\begin{split}~~=~&5\{x^2+(2+2)x+(2{\, \small \times \,}2)\}
\\[2pt]~~=~&5(x+2)^2
\end{split}\)
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Point：x²の係数が１でない式(因数分解の公式)
■ \(a^2x^2+2abx+b^2\) のタイプ
\(x^2\) の項を \(a^2x^2=(ax)^2\) と考えて因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2+2abx+b^2=(ax+b)^2\end{split}\)
例えば、\(\begin{split}9x^2+12x+4\end{split}\)
\(9x^2=(3x)^2~,~4=2^2\) とすると、
\(12x=2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,}2 {\, \small \times \,} x\) となる
\(\begin{split}&9x^2+12x+4\\[2pt]~~=~&(3x)^2+2{\, \small \times \,} 3{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x+2^2\\[2pt]~~=~&(3x+2)^2\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2y^2\) タイプ
\(a^2x^2=(ax)^2~,~b^2y^2=(by)^2\) として、２乗 ー ２乗の因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2-b^2y^2=(ax+by)(ax-by)\end{split}\)
x²の係数が１でない式で共通因数でくくり出せない式の因数分解は、
■ \(a^2x^2+2abx+b^2\) のタイプ
\(x^2\) の項を \(a^2x^2=(ax)^2\) と考えて因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2+2abx+b^2=(ax+b)^2\end{split}\)
例えば、\(\begin{split}9x^2+12x+4\end{split}\)
\(9x^2=(3x)^2~,~4=2^2\) とすると、
\(12x=2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,}2 {\, \small \times \,} x\) となる
\(\begin{split}&9x^2+12x+4\\[2pt]~~=~&(3x)^2+2{\, \small \times \,} 3{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x+2^2\\[2pt]~~=~&(3x+2)^2\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2y^2\) タイプ
\(a^2x^2=(ax)^2~,~b^2y^2=(by)^2\) として、２乗 ー ２乗の因数分解の公式を使う。
\(\begin{split}a^2x^2-b^2y^2=(ax+by)(ax-by)\end{split}\)
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問題解説：いろいろな因数分解①(共通因数)
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~3x^2-3x-6\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~3x^2-3x-6\end{split}\)
式全体の共通因数 \(3\) でくくり出すと、
\(\begin{split}&3x^2-3x-6
\\[2pt]~~=~&3{\, \small \times \,} x^2+3{\, \small \times \,} (-x)+3{\, \small \times \,} (-2)
\\[2pt]~~=~&3(x^2-x-2)
\end{split}\)
（ ）の中をさらに因数分解すると、
和が \(-1\) で積が \(-2\) の２つの数の組は \(-2\) と \(1\)
\(\begin{split}~~=~&3\{ x^2+(-2+1)x-2{\, \small \times \,} 1 \}\\[2pt]~~=~&3(x-2)(x+1)\end{split}\)
したがって、答えは \(3(x-2)(x+1)\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~5ax^2-45a\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~5ax^2-45a\end{split}\)
式全体の共通因数 \(5a\) でくくり出すと、
\(\begin{split}&5ax^2-45a
\\[2pt]~~=~&5a{\, \small \times \,} x^2-5a{\, \small \times \,} 9
\\[2pt]~~=~&5a(x^2-9)
\end{split}\)
（ ）の中をさらに因数分解すると、
\(9=3^2\) となり、２乗 ー ２乗の因数分解より、
\(\begin{split}~~=~&5a(x^2-3^2)\\[2pt]~~=~&2a(x+3)(x-3)\end{split}\)
したがって、答えは \(5(x+3)(x-3)\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~2a^2+20a+50\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~2a^2+20a+50\end{split}\)
式全体の共通因数 \(2\) でくくり出すと、
\(\begin{split}&2a^2+20a+50
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,} a^2+2{\, \small \times \,} 10a+2{\, \small \times \,} 25
\\[2pt]~~=~&2(a^2+10a+25)
\end{split}\)
（ ）の中をさらに因数分解すると、
和が \(10\) で積が \(25\) の２つの数の組は \(5\) と \(5\) となる
\(\begin{split}~~=~&2(a+5)(a+5)\\[2pt]~~=~&2(a+5)^2\end{split}\)
したがって、答えは \(2(a+5)^2\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~9x^2+6x+1\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~~9x^2+6x+1\end{split}\)
※ 式全体の共通因数がない
\(9x^2=(3x)^2~,~1=1^2\) より、
\(6x=2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 1 {\, \small \times \,} x\) となる
これより、因数分解の公式を用いると、
\(\begin{split}&9x^2+6x+1\\[2pt]~~=~&(3x)^2+2{\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 1 {\, \small \times \,} x+1^2\\[2pt]~~=~&(3x+1)^2\end{split}\)
したがって、答えは \((3x+1)^2\) となる。
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~16x^2-24xy+9y^2\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~~16x^2-24xy+9y^2\end{split}\)
※ 式全体の共通因数がない
\(16x^2=(4x)^2~,~9y^2=(-3y)^2\) より、
\(-24x=2{\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} (-3y) {\, \small \times \,} x\) となる
これより、因数分解の公式を用いると、
\(\begin{split}&16x^2-24xy+9y^2\\[2pt]~~=~&(4x)^2+2{\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} (-3y) {\, \small \times \,} x+(-3y)^2\\[2pt]~~=~&(4x-3y)^2\end{split}\)
したがって、答えは \((4x-3y)^2\) となる。
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~9a^2-16b^2\end{split}\)
次の式を因数分解せよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~9a^2-16b^2\end{split}\)
※ 式全体の共通因数がない
\(9a^2=(3a)^2~,~16b^2=(4b)^2\) となる
２乗 ー ２乗の因数分解の公式を用いると、
\(\begin{split}&9a^2-16b^2\\[2pt]~~=~&(3a)^2-(4b)^2\\[2pt]~~=~&(3a+4b)(3a-4b)\end{split}\)
したがって、答えは \((3a+4b)(3a-4b)\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
このページは「中学数学３ 展開と因数分解」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
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