今回の問題は「展開・因数分解を利用した計算」です。
\(~~~\)数研出版 これからの数学３ p.34 問1
\(~~~\)東京書籍 新しい数学３ p.33 問1
\(~~~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.30 問3~4
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~98^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~~53{\, \small \times \,}47\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~~35^2-15^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~~11{\, \small \times \,}13+17{\, \small \times \,}11\end{split}\)
次の式をくふうして計算せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~98^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~~53{\, \small \times \,}47\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~~35^2-15^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~~11{\, \small \times \,}13+17{\, \small \times \,}11\end{split}\)
Point：乗法公式を利用した計算のくふう
① \(n^2=(a+b)^2\) と２つの数の和や差とする。
このとき、\(a^2\) は計算しやすい数がよい。
\(\begin{split}~~~~~101^2=(100+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(100+1)^2
\\[2pt]~~=~&100^2+2{\, \small \times \,}100{\, \small \times \,}1+1^2
\\[2pt]~~=~&10000+200+1
\\[2pt]~~=~&10201
\end{split}\)
■ \(m{\, \small \times \,} n\) タイプ(２乗 ー ２乗の乗法公式)
① \(m~,~n\) を２つの数 \(a~,~b\) の和と差で表す。
\(\begin{split}~~~~~18{\, \small \times \,}22=(20-2)(20+2)\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(20-2)(20+2)
\\[2pt]~~=~&20^2-2^2
\\[2pt]~~=~&400-4
\\[2pt]~~=~&396
\end{split}\)
■ \(n^2\) タイプ(乗法公式)
① \(n^2=(a+b)^2\) と２つの数の和や差とする。
このとき、\(a^2\) は計算しやすい数がよい。
\(\begin{split}~~~~~101^2=(100+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(100+1)^2
\\[2pt]~~=~&100^2+2{\, \small \times \,}100{\, \small \times \,}1+1^2
\\[2pt]~~=~&10000+200+1
\\[2pt]~~=~&10201
\end{split}\)
■ \(m{\, \small \times \,} n\) タイプ(２乗 ー ２乗の乗法公式)
① \(m~,~n\) を２つの数 \(a~,~b\) の和と差で表す。
\(\begin{split}~~~~~18{\, \small \times \,}22=(20-2)(20+2)\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(20-2)(20+2)
\\[2pt]~~=~&20^2-2^2
\\[2pt]~~=~&400-4
\\[2pt]~~=~&396
\end{split}\)
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Point：因数分解を利用した計算のくふう
① 因数分解の公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) を用いて因数分解する。
\(\begin{split}~~~~~17^2-7^2=(17+7)(17-7)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&(17+7)(17-7)
\\[2pt]~~=~&24{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&240
\end{split}\)
■ \(ab+ac\) タイプ(共通因数)
① 共通因数をくくり出す。
\(\begin{split}~~~~~15{\, \small \times \,}7+15{\, \small \times \,}3=15{\, \small \times \,}(7+3)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&15{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&150
\end{split}\)
■ \(m^2-n^2\) タイプ(２乗 ー ２乗の因数分解)
① 因数分解の公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) を用いて因数分解する。
\(\begin{split}~~~~~17^2-7^2=(17+7)(17-7)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&(17+7)(17-7)
\\[2pt]~~=~&24{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&240
\end{split}\)
■ \(ab+ac\) タイプ(共通因数)
① 共通因数をくくり出す。
\(\begin{split}~~~~~15{\, \small \times \,}7+15{\, \small \times \,}3=15{\, \small \times \,}(7+3)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&15{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&150
\end{split}\)
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