展開・因数分解と表やカレンダー

問題：展開・因数分解と表やカレンダー

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (1)}~\)下の図１は、自然数が順番に一段５つずつ並んでいる。このとき、表の中の４つの整数の組(図２)について、\(bc-ad\) の値はつねに \(5\) となることを証明せよ。

\({\small (2)}~\)下の図３は、ある月のカレンダーである。このとき、カレンダーの中の３つの整数の組(図４)について、\(b^2-ac\) の値はつねに \(49\) となることを証明せよ。

Point：表やカレンダーの規則性

表やカレンダーの規則性を証明する問題は、
① 整数の組の１つを整数 \(n\) とする。

② 規則性に注意して、残りの枠にあてはまる数を整数 \(n\) を使って表す。
　※ 上下や左右の関係に注意する。

　たとえば、カレンダーでは、
　真ん中の枠の整数を \(n\) とすると、
　　左の枠の数は１日前の \(n-1\)
　　右の枠の数は１日後の \(n+1\)
　　上の枠の数は１週間前の \(n-7\)
　　下の枠の数は１週間後の \(n+7\) となる

③ 問題文の式を整数 \(n\) の式で表して計算する。

④ 結論を書く。
　　→「したがって、◯◯となる」

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問題

次の問いに答えよ。

[証明] 整数 \(n\) を用いて、左上を \(a=n\) とすると、

\(b\) は \(a\) の右隣で \(+1\) されて、\(b=n+1\)
\(c\) は \(a\) の一段下で \(+5\) されて、\(c=n+5\)
\(d\) は \(a\) の一段下の右隣で \(+6\) されて、\(d=n+6\)

よって、\(bc-ad\) は、
※ (　) を付けたまま代入する。

\(\begin{split}&bc-ad\\[2pt]~~=~&(n+1)(n+5)-n(n+6)\end{split}\)

それぞれを展開すると、

※ この枠の中の計算は書かないでよい。

\((n+1)(n+5)\) は乗法の公式より、

\(\begin{split}&(n+1)(n+5)\\[2pt]~~=~&n^2+(1+5)n+1\times5\\[2pt]~~=~&n^2+6n+5\end{split}\)

\(n(n+6)\) は分配法則より、

\(\begin{split}&n(n+6)\\[2pt]~~=~&n\times n+n\times 6\\[2pt]~~=~&n^2+6n\end{split}\)

これより、(　) を付けたまま展開すると、

\(\begin{split}~~=~&(n^2+6n+5)-(n^2+6n)\\[2pt]~~=~&n^2+6n+5-n^2-6n\\[2pt]~~=~&(n^2-n^2)+(6n-6n)+5\\[2pt]~~=~&5\end{split}\)

したがって、\(bc-ad\) の値はつねに \(5\) となる [終]

問題

次の問いに答えよ。

[証明] 整数 \(n\) を用いて、中央を \(b=n\) とすると、

\(a\) は \(b\) の一段上で \(-7\) されて、\(a=n-7\)
\(c\) は \(b\) の一段下で \(+7\) されて、\(c=n+7\)

よって、\(b^2-ac\) は、
※ (　) を付けたまま代入する。

\(\begin{split}&b^2-ac\\[2pt]~~=~&n^2-(n-7)(n+7)\end{split}\)

展開すると、

※ この枠の中の計算は書かないでよい。

\((n-7)(n+7)\) は２乗ー２乗の乗法の公式より、

\(\begin{split}&(n-7)(n+7)\\[2pt]~~=~&n^2-7^2\\[2pt]~~=~&n^2-49\end{split}\)

これより、(　) を付けたまま展開すると、

\(\begin{split}~~=~&n^2-(n^2-49)\\[2pt]~~=~&n^2-n^2+49\\[2pt]~~=~&49\end{split}\)

したがって、\(b^2-ac\) の値はつねに \(49\) となる [終]