展開・因数分解と表やカレンダー

展開・因数分解と表やカレンダーの解法

Point：表やカレンダーの規則性

表やカレンダーの規則性を証明する問題は、
① 整数の組の１つを整数 $n$ とする。

② 規則性に注意して、残りの枠にあてはまる数を整数 $n$ を使って表す。
　※ 上下や左右の関係に注意する。

③ 問題文の式を整数 $n$ の式で表して計算する。

④ 結論を書く。

　　→「したがって、◯◯となる」

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問題

次の問いに答えよ。

${\small (1)}~$ 下の図１は、自然数が順番に一段５つずつ並んでいる。このとき、表の中の４つの整数の組(図２)について、

$bc-ad$ の値はつねに

$5$ となることを証明せよ。

[証明] 整数 $n$ を用いて、 $a=n$ とすると、

$b$ は $a$ の右隣りで $+1$ されて、 $b=n+1$
$c$ は $a$ の一段下で $+5$ されて、 $c=n+5$
$d$ は $a$ の一段下の右隣りで $+6$ されて、 $d=n+6$

よって、 $bc-ad$ は、
※ (　) を付けたまま代入する。

$\begin{split}&bc-ad\\[2pt]~~=~&(n+1)(n+5)-n(n+6)\end{split}$

それぞれを展開すると、

※ この枠の中の計算は書かないでよい。

$(n+1)(n+5)$ は乗法の公式より、

$\begin{split}&(n+1)(n+5)\\[2pt]~~=~&n^2+(1+5)n+1\times5\\[2pt]~~=~&n^2+6n+5\end{split}$

$n(n+6)$ は分配法則より、

$\begin{split}&n(n+6)\\[2pt]~~=~&n\times n+n\times 6\\[2pt]~~=~&n^2+6n\end{split}$

これより、(　) を付けたまま展開すると、

$\begin{split}~~=~&(n^2+6n+5)-(n^2+6n)\\[2pt]~~=~&n^2+6n+5-n^2-6n\\[2pt]~~=~&(n^2-n^2)+(6n-6n)+5\\[2pt]~~=~&5\end{split}$

したがって、 $bc-ad$ の値はつねに $5$ となる [終]

問題

次の問いに答えよ。

${\small (2)}~$ 下の図３は、ある月のカレンダーである。このとき、カレンダーの中の３つの整数の組(図４)について、

$b^2-ac$ の値はつねに

$49$ となることを証明せよ。

[証明] 整数 $n$ を用いて、 $b=n$ とすると、

$a$ は $b$ の一段上で $-7$ されて、 $a=n-7$
$c$ は $b$ の一段下で $+7$ されて、 $c=n+7$

よって、 $b^2-ac$ は、
※ (　) を付けたまま代入する。

$\begin{split}&b^2-ac\\[2pt]~~=~&n^2-(n-7)(n+7)\end{split}$

展開すると、

※ この枠の中の計算は書かないでよい。

$(n-7)(n+7)$ は２乗ー２乗の乗法の公式より、

$\begin{split}&(n-7)(n+7)\\[2pt]~~=~&n^2-7^2\\[2pt]~~=~&n^2-49\end{split}$

これより、(　) を付けたまま展開すると、

$\begin{split}~~=~&n^2-(n^2-49)\\[2pt]~~=~&n^2-n^2+49\\[2pt]~~=~&49\end{split}$

したがって、 $b^2-ac$ の値はつねに $49$ となる [終]