平方根の大小比較

Point：平方根の大小比較

平方根の大小比較は、

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　\(\sqrt{a}\) と \(\sqrt{b}\) を比較すると、( \(a~,~b\) は正の数 )

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① それぞれの数を２乗した値を求める。

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　　\(\begin{split}&\left(\sqrt{a}\right)^2=a~,~\left(\sqrt{b}\right)^2=b\end{split}\)

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② ２乗した数 \(a~,~b\) の大小関係を調べる。

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③ もとの数の大小関係を表す。

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　\({\small (1)}~\)正の数同士の比較
　　　\(a\lt b\) のとき、\(\sqrt{a}\lt\sqrt{b}\)

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　\({\small (2)}~\)負の数同士の比較
　　　\(a\lt b\) のとき、\(-\sqrt{a}\gt-\sqrt{b}\)
　　※ 大小関係が逆になる。

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問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{5}~,~\sqrt{7}\end{split}\)

それぞれの値を２乗すると、

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\(\begin{split}&\left(\sqrt{5}\right)^2=5\\[2pt]~~~&\left(\sqrt{7}\right)^2=7\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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\(~~~5\lt7\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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\(~~~\sqrt{5}\lt\sqrt{7}\)

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したがって、答えは \(\sqrt{5}\lt\sqrt{7}\) となる

問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{5}~,~2\end{split}\)

それぞれの値を２乗すると、

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\(\begin{split}&\left(\sqrt{5}\right)^2=5\\[2pt]~~~&2^2=4\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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\(~~~4\lt5\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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　\(\begin{split}&\sqrt{4}\lt\sqrt{5}~~\Leftrightarrow~~2\lt\sqrt{5}\end{split}\)

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したがって、答えは \(2\lt\sqrt{5}\) となる

問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (3)}~-6~,~-\sqrt{35}\end{split}\)

\(6\) と \(\sqrt{35}\) をそれぞれの値を２乗すると、

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\(\begin{split}&6^2=36\\[2pt]~~~&\left(\sqrt{35}\right)^2=35\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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\(~~~35\lt36\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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　\(\begin{split}&\sqrt{35}\lt\sqrt{36}~~\Leftrightarrow~~\sqrt{35}\lt6\end{split}\)

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また、マイナスが付くと大小関係が逆になるので、

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\(~~~-\sqrt{35}> -6\)

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したがって、答えは \(-6\lt-\sqrt{35}\) となる。

問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (4)}~1.2~,~\sqrt{1.4}\end{split}\)

それぞれの値を２乗すると、

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\(\begin{split}&(1.2)^2=1.44\\[2pt]~~~&\left(\sqrt{1.4}\right)^2=1.4\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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\(~~~1.4\lt1.44\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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　\(\begin{split}&\sqrt{1.4}\lt\sqrt{1.44}~~\Leftrightarrow~~\sqrt{1.4}\lt1.2\end{split}\)

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したがって、答えは \(\sqrt{1.4}\lt1.2\) となる

問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (5)}~-\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,5 \,}}~,~-\frac{\,1 \,}{\,3 \,}\end{split}\)

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\(\begin{split}\sqrt{{\frac{\,1\,}{\,5\,}}}\end{split}\) と \(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) をそれぞれを２乗し、さらに比較しやすいように通分しておくと、

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\(\begin{split}&\left(\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,5 \,}}\right)^2=\frac{\,1 \,}{\,5 \,}=\frac{\,9 \,}{\,45 \,}\\[3pt]~~~&\left(\frac{\,1 \,}{\,3 \,}\right)^2=\frac{\,1 \,}{\,9 \,}=\frac{\,5 \,}{\,45 \,}\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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　\(\begin{split}&\frac{\,5 \,}{\,45 \,}\lt\frac{\,9 \,}{\,45 \,}~~\Leftrightarrow~~\frac{\,1 \,}{\,9 \,}\lt\frac{\,1 \,}{\,5 \,}\end{split}\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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　\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,9 \,}}\lt\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,5 \,}}~~\Leftrightarrow~~\frac{\,1 \,}{\,3 \,}\lt\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,5 \,}}\end{split}\)

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また、マイナスが付くと大小関係が逆になるので、

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\(\begin{split}~~~-\frac{\,1 \,}{\,3 \,}> -\sqrt{\frac{\,1 \,}{\,5 \,}}\end{split}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}-\sqrt{{\frac{\,1\,}{\,5\,}}}\lt-{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる

問題

次の各組の数の大小を不等号を使って表せ。

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\(\begin{split}{\small (6)}~3~,~\sqrt{7}~,~\sqrt{10}\end{split}\)

それぞれの値を２乗すると、

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\(\begin{split}&3^2=9\\[2pt]~~~&\left(\sqrt{7}\right)^2=7\\[2pt]~~~&\left(\sqrt{10}\right)^2=10\end{split}\)

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この値を大小比較すると、

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\(~~~7\lt9\lt10\)

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よって、もとの平方根の大小関係は、

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　\(\begin{split}&\sqrt{7}\lt\sqrt{9}\lt\sqrt{10}~~\Leftrightarrow~~\sqrt{7}\lt3\lt\sqrt{10}\end{split}\)

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したがって、答えは \(\sqrt{7}\lt3\lt\sqrt{10}\) となる